Baccalauréat S Métropole- La Réunion 12 septembre 2016 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Probabilités et suites

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face.

1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d'une pièce et 1 code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1 - a$ code le côté de la pièce A après l'avoir retournée. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Variables :} & a, b, d, s \text{sont des entiers}\\ & i, n \text{sont des entiers supérieurs ou égaux à } 1\\ \text{Initialisation :}& a \text{ prend la valeur } 0\\ & b \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{Saisir } n\\ \text{Traitement :} & \text{Pour } i \text{ allant de 1 à } n \text{ faire }\\ &\begin{array}{|l} d \text{ prend la valeur d'un entier aléatoire compris } \\ \text{entre 1 et 6 }\\ \text{Si } d \leqslant 2\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{alors } a \text{ prend la valeur } 1 - a\\ \text{sinon Si } d \leqslant 4\\ \hspace{1.5cm}| \text{alors } b \text{ prend la valeur } 1 - b\\ \hspace{1cm}\text{FinSi }\\ \end{array}\\ \text{FinSi}\\ s \text{ prend la valeur } a + b\\ \end{array}\\ &\text{ FinPour }\\ \text{Sortie :}&\text{ Afficher } s\\ \hline \end{array}$$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 6 et 4. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
        $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{variables}&i&d&a&b&s\\ \hline \text{initialisation}&\text{X}&\text{X}& & &\text{X}\\ \hline 1^{ er}\text{ passage boucle Pour}&& & & & \\ \hline 2^{ e}\text{ passage boucle Pour}& & & & & \\ \hline 3^{ e}\text{ passage boucle Pour}& && & & \\ \hline \end{array}$$
   2. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note :
   $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face»
   $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l'autre est du côté face»
   $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement : « À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile».
   De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$.
   1. Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces du côté pile.
   2. Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$.
   3. Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :
      
   4. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.
   5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = - \dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.
   6. On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n - \dfrac{1}{2}$. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n$.
   7. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_n$. Interpréter le résultat.