Baccalauréat S Métropole- La Réunion 12 septembre 2016 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d'une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d'un parachute.

Partie 1

Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \[v_1(t) = 5 \times \dfrac{\text{e}^{0,3t} - 1}{\text{e}^{0,3t} + 1}.\]

1. Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$.
La fonction $v_1$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
$\begin{align*} v_1′(t)&=5\times \dfrac{0,3\text{e}^{0,3t}\left(e^{0,3t}+1\right)-0,3\text{e}^{0,3t}\left(\text{e}^{0,3t}-1\right)}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2} \\ &=5\times 0,3 \times \dfrac{\text{e}^{0,6t}+\text{e}^{0,3t}-\text{e}^{0,6t}+\text{e}^{0,3t}}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2}\\ &=1,5 \times \dfrac{2\times \text{e}^{0,3t}}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2} \\ &=3\times \dfrac{\text{e}^{0,3t}}{\left(\text{e}^{0,3t}+1\right)^2} \\ &>0
\end{align*}$
La fonction exponentielle étant effectivement strictement positive sur $\mathbb R$ et donc sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
Par conséquent la fonction $v_1$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
2. On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que $t$ secondes après qu'il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d'atteindre le sol, à $v_1(t)$. On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l'arrivée n'excède pas 6 m.s$^{-1}$. Le colis risque-t-il d'être endommagé lorsque le parachute s'ouvre correctement ? Justifier.
On va donc déterminer $\lim\limits_{t \to +\infty} 5 \times \dfrac{\text{e}^{0,3t}-1}{\text{e}^{0,3t}+1}$.
$\dfrac{\text{e}^{0,3t}-1}{\text{e}^{0,3t}+1} = \dfrac{\text{e}^{0,3t}\left(1-\text{e}^{-0,3t}\right)}{\text{e}^{0,3t}\left(1+\text{e}^{-0,3t}\right)}=\dfrac{1-\text{e}^{-0,3t}}{1+\text{e}^{-0,3t}}$
Or $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-0,3t}=0$
Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{0,3t}-1}{\text{e}^{0,3t}+1} = 5$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} v_1(t)=5$.
La fonction $v_1$ est strictement croissante et sa limite en $+\infty$ est $5$.
Par conséquent, pour tout $t \geq 0$, on a $v_1(t)\leq 5$.
Le colis ne sera donc pas endommagé lorsque le colis s’ouvre correctement.
$\quad$

Partie 2

On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s'ouvre pas. On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : \[v_2(t) = 32,7 \left(1 - \text{e}^{- 0,3t}\right).\]

1. Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s$^{-1}$.
$v_2(10)=32,7\left(1-\text{e}^{-3}\right) \approx 31,1$ m.s$^{-1}$.
$\quad$
2. Résoudre l'équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice.
$\quad$
$\begin{align*} v_2(t)=30 &\iff 32,7\left(1-\text{e}^{-0,3t}\right) = 30 \\ &\iff 1-\text{e}^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7} \\ &\iff -\text{e}^{-0,3t}=\dfrac{30}{32,7}-1\\ &\iff \text{e}^{-0,3t}=\dfrac{2,7}{32,7}\\ &\iff -0,3t=\ln \dfrac{2,7}{32,7}\\ &\iff t=\dfrac{\ln \dfrac{2,7}{32,7}}{-0,3}
\end{align*}$
Par conséquent $t\approx 8,3$ s.
Cela signifie qu’au bout de $8,3$ secondes environ le colis a atteint la vitesse de $30$ m.s$^{-1}$.
$\quad$
3. On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l'hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: \[d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\:\text{d}t.\]
   1. Montrer que, pour tout réel $T$ de l'intervalle [0 ; 20], $d(T) = 109\left(\text{e}^{- 0,3 T} + 0,3 T - 1\right)$.
   
   $\begin{align*} d(T)&=\int_0^T v_2(t)\text{d}t \\ &=\int_0^T \left(32,7-32,7\text{e}^{-0,3t}\right)\text{d}t \\ &=\left[32,7t-\dfrac{32,7}{-0,3}\text{e}^{-0,3t}\right]_0^T \\ &=32,7T+109\text{e}^{-0,3T}-109 \\ &=109\left(\text{e}^{-0,3T}+0,3T-1\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la distance parcourue par le colis lorsqu'il atteint le sol.
   On veut calculer $d(20) = 109\left(\text{e}^{-6}+6-1\right) = 109\left(\text{e}^{-6}+5\right)\approx 545$ m.
   Le colis a donc parcouru environ $545$ mètres avant d’atteindre le sol.
   $\quad$
4. Déterminer un encadrement d'amplitude $0,1$~s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l'avait lâché d'une hauteur de $700$ mètres.
On veut résoudre l’équation $d(T)=700$
Soit $109\left(\text{e}^{-0,3T}+0,3T-1\right)=700$
A l’aide de la fonction table de la calculatrice on trouve $\approx 24,7 < T <24,8$.
$\quad$