Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016 - Correction de l'Exercice 5

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CORRECTION DE l' Exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à 10000 le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20 % des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers. On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a \[u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + c.\]

Partie A

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
A l’aide de la calculatrice on obtient :
$u_0=1 \quad u_1=1,8 \quad u_2=2,44 \quad u_3=2,952 \quad u_4=3,361~6$
Il semblerait donc que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante.
Sa limite semble être $5$.
$\quad$
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.
Initialisation : Si $n=0$ $u_0=1$ et $5-4\times 0,8^n=5-4=1$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=5-4\times 0,8^n$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=0,8u_n+1 \\ &=0,8\left(5-4\times 0,8^n\right)+1\\ &=4-4\times 0,8^{n+1}+1\\ &=5-4\times 0,8^{n+1}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel$n$ on a donc $u_n=5-4\times 0,8^n$.
$\quad$
3. Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. Interpréter ces deux résultats.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5-4\times 0,8^{n+1}-\left(5-4\times 0,8^n\right) \\ &=-4\times 0,8^{n+1}+4\times 0,8^n \\ &=4\times 0,8^n(-0,8+1) \\ &=4\times 0,8^n\times 0,2 \\ &=0,8^{n+1} \\ &>0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
Puisque $-1<0,8<1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty}0,8^n=0$
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5$.
$\quad$
Si l’apiculteur achète chaque année $10~000$ abeilles alors son nombres d’abeilles augmentera chaque année et sera de $50~000$ au bout d’un grand nombre d’années.
$\quad$

 

Partie B

L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers 100000 . On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - 5c$.

1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\ &=0,8u_n+c-5c\\ &=0,8u_n-4c\\ &=0,8\left(u_n-5c\right) \\ &=0,8v_n
\end{align*}$
$\quad$
autre méthode : $u_n=v_n+5c$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-5c \\ &=0,8u_n+c-5c\\ &=0,8u_n-4c\\ &=0,8\left(v_n+5c\right)-4c\\ &=0,8v_n+4c-4c\\ &=0,8v_n
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-5c=1-5c$.
$\quad$
2. En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a : $v_n=(1-5c)\times 0,8^n$
$\quad$
3. Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
On a alors, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=(1-5c)\times 0,8^n+5c$
Pour la même raison qu’à la question A.3 $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=5c$.
L’apiculteur souhaite que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
Il faut donc que $c=2$.