Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111 , $\ldots$ sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1. Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre 1 : \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{array}{c}\tiny p {} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{array}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\] Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5.
2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3.
   1. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10^j \equiv 1 \:\:\text{mod } 3$.
   2. En déduire que $N_p \equiv p \:\:\text{mod } 3$.
   3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3.
3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
   1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif appartenant à $\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$.
      On ne demande pas de justification. $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline m &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline a & & & & & & &\\ \hline \end{array}$$
   2. Soit $p$ un entier naturel non nul. Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
      On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
   3. Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$.
   4. Démontrer que « 7 divise $N_p$ » est équivalent à « 7 divise $9N_p$ ».
   5. En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire $n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$.
   1. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous. $$ \begin{array}{| c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv \ldots \ \ [10] & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline n^2 \equiv \ldots \ \ [10] &&&&&&&&&&\\ \hline \end{array} $$
   2. En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m - 1$.
   3. Conclure que $n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20$.
2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par 20 ?
3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier.