Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Exercice 3

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Exercice 3 3 points

Suites

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : \[ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \:u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}.\]

1. 1. À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
   2. En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
2. Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant 10^{-3}$.

 

Annexe 2

$$ \begin{array}{|l |l|}\hline \text{Variables :} &n, a \text{ et } b \text{ sont des nombres.}\\ \text{Initialisation :} & n \text{ prend la valeur } 0\\ &a \text{ prend la valeur } 0\\ &b \text{ prend la valeur } 0,5.\\ \text{Traitement :} & T\text{ ant que } |b - a|\:\:\ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}n \text{ prend la valeur }\:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}a \text{ prend la valeur } \:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}b \text{ prend la valeur }\:\: \ldots \ldots.\\ &\text{ Fin Tant que.}\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher }\:\: \ldots \ldots.\\ \hline \end{array} $$