Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 ( 3 points)

Commun à tous les candidats

Suites

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par : \[ u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \:u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}.\]

1. 1. À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture.
   En calculant les premiers termes de la suite on obtient :
   $u_0=0$ $\quad$ $u_1=\dfrac{1}{2}$ $\quad$ $u_2=\dfrac{2}{3}$ $\quad$ $u_3=\dfrac{3}{4}$ $\quad$ $u_4=\dfrac{4}{5}$.
   Il semblerait donc que, pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
   Montrons ce résultat par récurrence :
   Initialisation : Si $n=0$ $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{0}{1}=0=u_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
   Alors :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\ &=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\ &=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\ &=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\ &=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\ &=\dfrac{n+1}{n+2}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
   D’après la limite des termes de plus haut degré :
   $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.
   $\quad$
2. Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant 10^{-3}$.
On obtient l’algorithme suivant :
Variables :
$\quad$ $n,a$ et $b$ sont des nombres.
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $0$
$\quad$ $b$ prend la valeur $0,5$
Traitement :
$\quad$ Tant que $|b-a| > 10^{-3}$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-a}$
$\qquad$ $b$ prend la valeur $\dfrac{1}{2-b}$
$\quad$ Fin Tant que.
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$

 

Annexe 2

$$ \begin{array}{|l |l|}\hline \text{Variables :} &n, a \text{ et } b \text{ sont des nombres.}\\ \text{Initialisation :} & n \text{ prend la valeur } 0\\ &a \text{ prend la valeur } 0\\ &b \text{ prend la valeur } 0,5.\\ \text{Traitement :} & T\text{ ant que } |b - a|\:\:\ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}n \text{ prend la valeur }\:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}a \text{ prend la valeur } \:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}b \text{ prend la valeur }\:\: \ldots \ldots.\\ &\text{ Fin Tant que.}\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher }\:\: \ldots \ldots.\\ \hline \end{array} $$