Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Exercice 4

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Exercice 4 4 points


Commun à tous les candidatsCandidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

Partie A : un calcul de volume sans repère


On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD. On admettra que OS = OA.

  1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
  2. En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD.

 

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\text{OA}},~ \vec{\text{OB}}, ~\vec{\text{OS}}\right)$.

  1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].
    1. Justifier que $\vec{n}(1~;~1~;~- 3)$ est un vecteur normal au plan (PQC).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).
  2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).
    2. Calculer les coordonnées du point H.
    3. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
  3. On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$ Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.

 

Partie C : partage équitable


Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm. Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale : «Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé ».

Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

 

Correction Exercice 4
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