Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Exercice 5
Exercice 5 5 points
Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-4}$
On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un module électronique. Si un module subit une panne, il est changé.
Partie A : Étude des pannes du module mécanique
Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$ :
- Déterminer l'arrondi à $10^{-4}$ de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = 0,7977 $.
Pour la suite de cet exercice, on prendra $\sigma = 2,4$ . - Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois.
- Déterminer la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois.
Partie B : Étude des pannes d'origine électronique
Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
- Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \leqslant T \leqslant 24) = 0,03$.
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- Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois.
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- Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.
- Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants.
Partie C : Pannes d'origine mécanique et électronique
On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants. Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois.Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne
Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans. Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = 0,7977 $ ? Justifier la réponse.
Pour la suite de cet exercice, on prendra $\lambda = 0,00127 $ .
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