Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Correction Exercice 5

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Correction Exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-4}$
On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un module électronique. Si un module subit une panne, il est changé.

Partie A : Étude des pannes du module mécanique

Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$ :

1. Déterminer l'arrondi à $10^{-4}$ de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = 0,7977 $.
$\quad$
$\begin{align*} P(D \geq 48)=0,797~7 &\iff P(D-50\geq -2)=0,797~7 \\ &\iff P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \geq -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,797~7 \\ &\iff P\left(\dfrac{D-50}{\sigma} \leq -\dfrac{2}{\sigma}\right)=0,202~3
\end{align*}$
La variable aléatoire $\dfrac{D-50}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
En utilisant la fonction inverse loi normale de la calculatrice on obtient :
$-\dfrac{2}{\sigma} \approx -0,833~4 \iff \sigma \approx 2,399~8$.
$\quad$


2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

$$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
Pour la suite de cet exercice, on prendra $\sigma = 2,4$ .
2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois.
On veut calculer $P(45 \leq D \leq 52) \approx 0,779~1$


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

3. Déterminer la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois.
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{(D \geq 48)}(D\geq 54)&=\dfrac{P(\geq 54)}{P(D\geq 48)} \\ &=\dfrac{0,5-P(50 \leq D\leq 54)}{0,5+P(48 \leq D\leq 50)} \\ &\approx 0,059~9
\end{align*}$
Remarque : $(D\geq 48)\cap(D\geq 54)=(D\geq 54)$.

Partie B : Étude des pannes d'origine électronique

Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \leqslant T \leqslant 24) = 0,03$.
$\quad$
$\begin{align*} P(0\leq T\leq 24)=0,03 &\iff 1-\text{e}^{-24\lambda} = 0,03 \\ &\iff \text{e}^{-24\lambda}=0,97 \\ &\iff -24\lambda = \ln 0,97 \\ &\iff \lambda = -\dfrac{\ln 0,97}{24}
\end{align*}$
$\quad$

Pour la suite de cet exercice, on prendra $\lambda = 0,00127 $ .

2. 1. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P(24 \leq T \leq 48)&=\text{e}^{-0,001~27\times 24}-\text{e}^{-0,001~27\times 48} \\ &\approx 0,029~1
   \end{align*}$
   $\quad$
   2. 1. Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.
      
      $\begin{align*} P_{T\geq t}(T \geq t+h)&=\dfrac{P\left(T\geq t)\cap (T\geq t+h)\right)}{P(T\geq t)} \\ &=\dfrac{P(T\geq t+h)}{P(T\geq t)} \\ &=\dfrac{\text{e}^{-(t+h)\lambda}}{\text{e}^{-t\lambda}}\\ &=\text{e}^{-h\lambda}\\ &P(T \geq h)
      \end{align*}$
      $\quad$
      
      2. Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants.
      On veut calculer :
      $\begin{align*} P_{T \geq 36}(T \geq 36+12) &=P(T\geq 12) \quad \text{ cf B.3.a} \\ &=\text{e}^{-12\times 0,001~27}\\ &\approx 0,984~9
      \end{align*}$

    

   Partie C : Pannes d'origine mécanique et électronique

   
   On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants. Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois.

   On veut calculer :
   $\begin{align*} P\left((D \geq 48)\cap (T\geq 48)\right)&=P(D \geq 48)\times P(T \geq 48) \quad \text{indépendance} \\ &=0,797~7 \times \text{e}^{-0,001~27\times 48} \\ & \approx 0,7505
   \end{align*}$
   $\quad$

   Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne

   
   Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans. Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = 0,7977 $ ? Justifier la réponse.

   La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
   Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

   $$I_{300}[0,732~8;0,843~2] $$

   La fréquence observée est $f=\dfrac{246}{300}=0,82 \in I_{300}$

   Cela ne remet donc pas en cause, au risque de $5\%$, le résultat donné par le service statistique de l’enseigne.

   $\quad$

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