Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2017.

Baccalauréat S Asie 22 juin 2017 - Correction Exercice 5

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Question préliminaire

Soit $T$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On rappelle que, pour tout réel $a$ positif, on a : $P( T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^{a}\lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$. Démontrer que, pour tout réel $a$ positif, $P(T > a) = \text{e}^{-\lambda a}$.

$\begin{align*} P(T>a)&=\displaystyle 1-P(\leq a) \\
&1-\int_0^a \lambda\text{e}^{-\lambda t}\; dt \\
&=1-\left[-\text{e}^{-\lambda t}\right]_0^a \\
&=1+\text{e}^{-\lambda a}-1\\
&=\text{e}^{-\lambda a}
\end{align*}$


Dans la suite de l'exercice, on considère des lampes à led dont la durée de vie, exprimée en jour, est modélisée par une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{2800}$. Les durées seront données au jour près, et les probabilités au millième près.

Partie A : étude d'un exemple

 

  1. Calculer la probabilité qu'une lampe fonctionne au moins 180 jours.
    2. On veut calculer $P(T\geq 180)=\text{e}^{-\frac{180}{2~800}}$ $=\text{e}^{-\frac{9}{140}}$ $\approx 0,938$
  2. Sachant qu'une telle lampe a déjà fonctionné 180 jours, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins 180 jours?
    3. On veut calculer :
    $P_{(T\geq 180)}(T \geq 180+180) = P(T\geq 180)$ $\approx 0,938$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.

 

Partie B : contrôle de la durée de vie moyenne

 

Le fabricant de ces lampes affirme que, dans sa production, la proportion de lampes qui ont une durée de vie supérieure à $180$ heures est de 94 %. Un laboratoire indépendant qui doit vérifier cette affirmation fait fonctionner un échantillon aléatoire de $400$ lampes pendant $180$ jours. On suppose que les lampes tombent en panne indépendamment les unes des autres. Au bout de ces $180$ jours, $32$ de ces lampes sont en panne. Au vu des résultats des tests, peut-on remettre en cause, au seuil de 95 %, la proportion annoncée par le fabricant ?

On a $n=400 \geq 30$ et $p=0,94$ donc $np=376 \geq 5$ et $n(1-p)=24 \geq 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{400}&=\left[0,94-1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}};0,94+1,96\sqrt{\dfrac{0,94\times 0,06}{400}}\right] \\
&\approx [0,916;0,964]
\end{align*}$
$32$ lampes sont en panne; cela signifie donc que $368$ ont une durée de vie supérieure à $180$ heures.
La fréquence observée est donc $f=\dfrac{368}{400}=0,92 \in I_{400}$
Ces tests ne remettent donc pas, au risque de $5\%$, la proportion annoncée par le fabricant.
$\quad$

Partie C : dans une salle de spectacle


Pour éclairer une salle de spectacle, on installe dans le plafond $500$ lampes à led. On modélise le nombre de lampes fonctionnelles après $1$ an par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 440$ et d'écart-type $\sigma = 7,3$.

  1. Calculer $P (X > 445)$, la probabilité que plus de $445$ lampes soient encore fonctionnelles après un an.
    2. $P(X>445)=0,5-P(440<X<445) \approx 0,247$ d’après la calculatrice.
    ou :

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
  2. Lors de l'installation des lampes dans le plafond, la direction de la salle veut constituer un stock de lampes. Quelle doit-être la taille minimale de ce stock pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à 95 % ?
    3. À l’aide de la touche Inverser loi normale de la calculatrice, on trouve la valeur de $a$ telle que $P(X>a)>0,95 \iff P(X\leq a)<0,05$ et on obtient $a\approx 427,993$.
    On doit donc prévoir un stock d’au moins $500-427=73$ lampes pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à $95\%$.

    2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
    Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

    $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

     

 

 

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