Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (3 points)

Commun à tous les candidats

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par 1 \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0& =& 100\\ z_{n+1}& =&\dfrac{\text{i}}{3}z_n\: \text{pour tout entier naturel }\:n. \end{array}\right.\] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points O, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
On a, pour tout entier naturel $n$ :
$z_{n+2}=\dfrac{\text{i}}{3}z_{n+1}=\dfrac{\text{i}}{3}\times \dfrac{\text{i}}{3}z_n = -\dfrac{1}{9}z_n$
Par conséquent $\vec{OM_{n+2}}=-\dfrac{1}{9}\vec{OM_n}$.
Les points $O$, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont donc alignés.
$\quad$
2. On rappelle qu'un disque de centre A et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\text{A}M \leqslant r$. Démontrer que, à partir d'un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1.
Pour tout entier naturel $n$ on note :
$r_n=OM_n=\left|z_n\right|$
Ainsi :
$\begin{align*} r_{n+1}&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}z_n\right| \\
&=\left|\dfrac{\text{i}}{3}\right|\times \left|z_n\right| \\
&\dfrac{1}{9} r_n
\end{align*}$
La suite $\left(r_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$ et de premier terme $r_0=100$.
$-1 < \dfrac{1}{9} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n=0$.
D’après la définition de la limite d’une suite, on peut déduire que l’intervalle $[0;1[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang, ce qui répond à la question. Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel $r_n<1$ c’est-à-dire à partir duquel tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
$\quad$
On peut également déterminer le rang $n_0$ à partir duquel tous les points sont situés dans le disque (mais ce n'était pas explicitement demandé dans l'exercice).
On cherche $n$ tel que $d_n< 1$.
La suite $\left( d_n\right) $ est géométrique de premier terme $d_0= 100$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$ donc, pour tout $n, d_n=q^n\times d_0= 100\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n$. On résout l’inéquation : $$\begin{array}{rll} d_n <1 iff="" 100="" left="" dfrac="" 1="" 3="" right="" n="" ln="" text="" car="" x="" mapsto="" est="" strictement="" croissante="" sur="" 0="" infty="" -n="" -2="" 10="" a="" -=""> \dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}& \end{array}$$ Or $\dfrac{2\ln (10) }{\ln 2}\approx 4,2 $ donc les points $M_n$ appartiennent au disque de centre O et de rayon 1 à partir de $n=5$.