Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $ \mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On considère les points A$(1~;~1~;~14)$, B$(0~;~1~;~8)$ et C$(- 2~;~2~;~4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-6\\-8\\- 1\end{pmatrix}$.

1. 1. Justifier que les points A, B et C définissent un plan.
   2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vec{\text{AB}}$ et $\vec{\text{AC}}$.
   3. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne $6x + 8y - z = 0$.
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&2t - 3\\ y &=&t - \dfrac{1}{2},\\ z &=&4t + 2 \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\]
   1. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   2. La droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ?
3. Dans cette question, on considère l'ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&t^3 + t\\ y &=&t+1,\\ z &=&2t \end{array}\right. \:t \in \mathbb{R}.\] Démontrer qu'il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à (E) et à (ABC). Il n'est pas demandé de déterminer ses coordonnées.