Baccalauréat S Antilles-Guyane. 7 septembre 2017 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

  1. Soit $p$ un entier relatif donné. On s'intéresse dans cette question à l'équation $\left(E_p\right)$ \[3x + 4y = p\] où $(x~;~y)$ est un couple d'entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple $(-p~;~p)$ est une solution particulière de l'équation.
    2. Démontrer que l'ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l'ensemble des couples de la forme \[(- p + 4k~;~p - 3k) \:\text{où }\:k \:\text{est un entier relatif.}\]
  2. Dans la suite de l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$. On considère le plan $P$ d'équation cartésienne \[6x + 8y - z = 0.\]

  3. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0~;~y_0~;~z_0\right)$ qui appartient au plan $P$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
    1. Démontrer que $z_0$ est pair.
    2. On pose $z_0 = 2p$ où $p$ est un entier relatif. Prouver que le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ est solution de l'équation $\left(E_p\right)$.
    3. En utilisant la question 1., déterminer l'ensemble des points du plan $P$ à coordonnées entières.
  4. À tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, on associe le point $M'$ de coordonnées $\left(x'~;~y'~;~z'\right)$ avec \[\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&- 144\\28&- 30&29 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
    1. Montrer que $6x' + 8y' - z' = 101(6x + 8y - z)$.
    2. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $P$, alors le point $M'$ est aussi un point du plan $P$.
    3. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $P$ passant par O. Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M'$ appartient aussi à $\Delta$.
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