Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 5 septembre 2017

 

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m et dont l'âge est compris entre 10 et 70 ans. Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à  $10^{-4}$.

    1. La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $165$ et d'écart-type $20$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
    2. L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $17$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit ?
    3. Les études menées permettent d'établir que 89 % des visiteurs ont la taille exigée, 87 % ont l'âge requis mais 8 % n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
  1. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25 % des personnes ont attendu moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95 % sont satisfaites de l'attraction. En revanche, 22 % des personnes ayant attendu plus de $30$~min ne sont pas satisfaites de l'attraction. On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit. On note $A$ l'évènement « le visiteur a attendu plus de $30$min » et $S$ l'évènement « le visiteur est satisfait de l'attraction ».
    1. Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut 0,8225.
    2. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min ?
  2. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites. Le directeur peut-il être rassuré ?

Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats

 

Un parc d'attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m et dont l'âge est compris entre 10 et 70 ans. Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à  $10^{-4}$.

    1. La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $165$ et d'écart-type $20$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
    2. On veut calculer :
      $P(T\geqslant 140) = 0,5+P(140 \leqslant T \leqslant 165) \approx 0,894~4$.
      La probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est environ $0,894~4$.
      $\quad$
      Ou directement :

       

      2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    3. L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $30$ et d'écart-type $17$. Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit ?
    4. On veut calculer :
      $P(10 \leqslant X \leqslant 70) \approx 0,871~0$

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

      $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

       

      La probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit est environ $0,871~0$.
      $\quad$
    5. Les études menées permettent d'établir que 89 % des visiteurs ont la taille exigée, 87 % ont l'âge requis mais 8 % n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
    6. On appelle $A$ l’événement “le visiteur à l’âge requis” et $B$ l’événement “le visiteur à la taille requise”.
      On sait donc que $p(A\cup B) = 1-0,08=0,92$
      De plus $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
      $\iff 0,92=0,89+0,87-P(A\cap B)$
      $\iff P(A\cap B)=0,84$
      $84\%$ des visiteurs vérifient donc les 2 conditions.
      $\quad$
  1. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25 % des personnes ont attendu moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95 % sont satisfaites de l'attraction. En revanche, 22 % des personnes ayant attendu plus de $30$~min ne sont pas satisfaites de l'attraction. On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit. On note $A$ l'évènement « le visiteur a attendu plus de $30$min » et $S$ l'évènement « le visiteur est satisfait de l'attraction ».
    1. Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut 0,8225.
    2. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

      D’après la formule des probabilités totales on a :
      $\begin{array}{c} P(S)&=P(S\cap A)+P\left(S\cap \overline{A}\right) \\
      &=0,75 \times 0,78+0,25\times 0,95 \\
      &=0,822~5
      \end{array}$
      $\quad$
    3. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min ?
    4. On veut calculer la probabilité :
      $\begin{array}{c} P_{\overline{S}}\left(\overline{A}\right) &=\dfrac{P\left(\overline{S}\cap\overline{A}\right)}{P\left(\overline{S}\right)} \\
      &=\dfrac{0,25\times 0,05}{1-0,822~5} \\
      &\approx 0,070~4
      \end{array}$
      La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ minutes est environ $0,070~4$.
      $\quad$
  2. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites. Le directeur peut-il être rassuré ?
  3. On a $n=200 \geqslant 30$ et $p=0,822~5$ donc $np=164,5 \geqslant 5$ et $n(1-p)=35,5 \geqslant 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de visiteurs satisfaits est donc :
    $\begin{array}{c} I_{200}&=\left[0,822~5-1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}};0,822~5+1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}}\right] \\
    &\approx [0,655~0;0,990~0]
    \end{array}$
    La fréquence observée de visiteurs satisfaits est donc $f=\dfrac{200-46}{200}=0,77 \in I_{200}$.
    Le directeur peut donc être rassuré.
    $\quad$

Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats


Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A


On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que \[N(t) = N_0\text{e}^{at}.\]

  1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines. En déduire la valeur du paramètre $a$.
  2. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$, \[N(t) = N_0\text{e}^{0,05t}.\] La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables. En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir détectable au toucher ?

 

PartieB


Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \text{e}^{- \frac{k}{80}t}\right)\] où

  • $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;
  • $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

  1. Détermination de la clairance Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$.
    1. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l'équation \[112 \left(1- \text{e}^{-\frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0.\]
    2. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    3. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
  2. Réglage du débit
    1. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
    2. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$. En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A


On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que \[N(t) = N_0\text{e}^{at}.\]

  1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines. En déduire la valeur du paramètre $a$.
  2. On sait que
    $\begin{array}{rl} N(14)=2N_0 &\iff 2N_0=N_0\text{e}^{14a} \\
    &\iff 2=e^{14a} \\
    &\iff \ln(2)=14a \\
    &\iff a=\dfrac{\ln(2)}{14}
    \end{array}$
    $\quad$
  3. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$, \[N(t) = N_0\text{e}^{0,05t}.\] La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables. En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir détectable au toucher ?
  4. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{array}{rl} N(t)\geqslant 10^9 &\iff 10^4\text{e}^{0,05t} \geqslant 10^9 \\
    &\iff e^{0,05t}\geqslant 10^5 \\
    &\iff 0,05t \geqslant \ln\left(10^5\right) \\
    &\iff t \geqslant \dfrac{ \ln\left(10^5\right)}{0,05}
    \end{array}$
    C’est donc entre la $230^{\text{e}}$ et la $231^{\text{e}}$ semaine que la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher.
    $\quad$

 

PartieB


Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \text{e}^{- \frac{k}{80}t}\right)\] où

  • $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;
  • $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

  1. Détermination de la clairance Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$.
    1. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l'équation \[112 \left(1- \text{e}^{-\frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0.\]
    2. Avec $D=112$, $k$ est solution de l’équation :
      $\begin{array}{rl}c(6)=6,8 &\iff \dfrac{112}{k}\left(1-\text{e}^{-\frac{6k}{80}}\right)=6,8 \\
      &\iff 112\left(1-\text{e}^{-\frac{3k}{40}}\right)=6,8k \\
      &\iff 112\left(1-\text{e}^{-\frac{3k}{40}}\right)-6,8k=0
      \end{array}$
      $\quad$
    3. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
    4. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=112\left(1-\text{e}^{-\frac{3x}{40}}\right)-6,8x$.
      Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
      $\begin{array}{rl} f'(x)&=112\times \dfrac{3}{40}\text{e}^{-\frac{3x}{40}}-6,8 \\
      &=8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8
      \end{array}$
      $\begin{array}{rl} f'(x)=0 &\iff 8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8 = 0 \\
      &\iff \text{e}^{-\frac{3x}{40}}=\dfrac{17}{21} \\
      &\iff -\dfrac{3x}{40}=\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
      &\iff x=-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
      \end{array}$
      et
      $\begin{array} {rl}f'(x)>0 &\iff 8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8 > 0 \\
      &\iff \text{e}^{-\frac{3x}{40}}>\dfrac{17}{21} \\
      &\iff -\dfrac{3x}{40}>\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
      &\iff x<-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
      \end{array}$
      On note $\alpha = -\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)$.
      La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
      $f(0)=0$ donc, puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;\alpha[$ on a $f(x)>0$ et l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur ce dernier intervalle.
      $\quad$
      Sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
      $f(\alpha) \approx 2,17 > 0$
      $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{3x}{40}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \\text{e}^{X}=0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\frac{3x}{40}}=0$ etc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
      Or $0\in \left]-\infty;f(\alpha)\right[$.
      D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $k_0$ sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ et donc finalement sur $]0;+\infty[$.
      $\quad$
    5. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
    6. D’après la calculatrice $k_0\approx 5,85$.
      La clairance du patient est donc de $5,85$L.h$^{-1}$.
      $\quad$
  2. Réglage du débit
    1. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
    2. Puisque $k>0$ on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{kt}{80}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X}=0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} c(t)=\dfrac{D}{k}$
      $\quad$
    3. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$. En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.
    4. On veut que $\dfrac{D}{5,85}<16 \iff D < 93,6$.
      Le débit doit donc être de $93,6$ µmol.L$^{-1}$.
      $\quad$

 


Exercice 3 3 points


Trigonométrie


On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, \[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

  1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
  2. Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$. Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : \[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]
  3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.

 


Correction de l'exercice 3 (3 points)


Commun à tous les candidats


On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, \[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

  1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
  2. Si $-\dfrac{\pi}{4} < \theta< \dfrac{3\pi}{4} $ alors$ -\dfrac{\pi}{2} < \theta-\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} $ puis $ \cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0$ car le cosinus est positif sur l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
    $\quad$
  3. Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$. Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : \[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]
  4. $\begin{align*} M\in \mathscr{D} &\iff \rho\sin \theta=-\rho \cos \theta +2 \text{ et } \rho >0 \\
    &\iff \rho\sin\theta+\rho \cos \theta = 2 \text{ et } \rho >0\\
    &\iff \rho\left(\cos \theta+\sin \theta\right)=2 \text{ et } \rho >0\\
    &\iff \rho=\dfrac{2}{\cos \theta+\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
    &\iff \rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
    &\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \rho >0 \\
    &\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0 \\
    &\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \theta \in \left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[
    \end{align*}$
  5. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.
  6. $M$, appartenant à la droite $\mathscr{D}$, est le plus proche de $O$ quand $\rho$ est le plus petit c’est-à-dire quand $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ est le plus grand soit quand $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les parties A et B sont indépendantes.
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

Partie A


Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} u_0 &=&0,3\\ u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

  1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
  2. On admet que, pour tout entier naturel $n\:$, $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle $[0~;~1]$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n\:$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
  3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence. $$\begin{array}{|l c|}\hline \text{Variables} : & u \text{ est un réel}\\ & n \text{ est un entier naturel}\\ \textbf{Traitement} : & u \text{ prend la valeur } 0,3 \\ & n \text{ prend la valeur } 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie} : &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$ La version allégée à partir de 2018: $$\begin{array}{|l|}\hline& u\leftarrow 0,3 \\ & n \leftarrow 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$

PartieB


Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} v_{10} &=&0,032\\ v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$,\: $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

  1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
  2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
  3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Les parties A et B sont indépendantes.
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

Partie A


Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} u_0 &=&0,3\\ u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

  1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
  2. $u_1=0,9\times 0,3(1-0,3)=0,189$
    $u_2=0,9\times 0,189(1-0,189)\approx 0,138$
    Au début de l’année 2001 il y avait donc $189$ tortues et $138$ au début de l’année 2002.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n\:$, $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle $[0~;~1]$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n\:$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on sait que $u_n \geq 0$.
      De plus :
      $u_{n+1}-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n\right)-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n-1\right)=-0,9{u_n}^2\leq 0$
      Par conséquent $0\leq u_{n+1} \leq 0,9u_n$.
      $\quad$
    3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
    4. Montrons ce résultat par récurrence.
      Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=0,3$ et $0,3 \times 0,9^0=0,3$ ainsi $0 \leq u_0 \leq 0,3 \times 0,9^0$.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $ 0\leq u_n \leq 0,3 \times 0,9^n$
      Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0 \leq u_{n+1} \leq 0,3\times 0,9^{n+1}$
      On sait que $0 \leq u_{n+1} \leq 0,9u_n \leq 0,3 \times 0,9^n \times 0,9$
      Soit $0 \leq u_{n+1} \leq 0,3\times 0,9^{n+1} $
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \leq u_n \leq 0,3 \times 0,9^n$.
      $\quad$
    5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
  4. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence. $$\begin{array}{|l c|}\hline \text{Variables} : & u \text{ est un réel}\\ & n \text{ est un entier naturel}\\ \textbf{Traitement} : & u \text{ prend la valeur } 0,3 \\ & n \text{ prend la valeur } 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie} : &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$ La version allégée à partir de 2018: $$\begin{array}{|l|}\hline& u\leftarrow 0,3 \\ & n \leftarrow 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$
  5. Variables :
    $\quad$ $u$ est un réel
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    Traitement :
    $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ Tant que $u \geq 0,03$ faire
    $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,9u(1-u)$
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $1999+n$
    $\quad$

PartieB


Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} v_{10} &=&0,032\\ v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$,\: $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

  1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
  2. $v_{11}=1,06\times 0,032(1-0,032) \approx 0,033$
    $v_{12}=1,06\times 0,033(1-0,033) \approx 0,034$
    Il y a donc $33$ tortues au début de l’année 2011 et $34$ au début de l’année 2012.
    $\quad$
  3. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
  4. $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n =\ell$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n+1} =\ell$
    De plus $\lim\limits_{n \to +\infty}1,06v_n\left(1-v_n\right)=1,06\ell(1-\ell)$.
    Par conséquent $\ell$ vérifie $\ell=1,06\ell(1-\ell)$.
    $\quad$
  5. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?
  6. $\ell=1,06\ell(1-\ell) \iff 1,06\ell(1-\ell)-\ell =0\iff \ell(0,06-1,06\ell)=0$
    $\iff \ell=0$ ou $0,06-1,06\ell=0$
    $\iff \ell=0$ ou $\ell=\dfrac{3}{53}$
    La suite $\left(v_n\right)$ étant croissante et convergente sa limite est $\ell=\dfrac{3}{53}>0,03$.
    L’espèce n’est plus menacée d’extinction.
    $\quad$
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