Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 5 septembre 2017 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0) = N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre $a$ tel que \[N(t) = N_0\text{e}^{at}.\]

1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines. En déduire la valeur du paramètre $a$.
On sait que
$\begin{array}{rl} N(14)=2N_0 &\iff 2N_0=N_0\text{e}^{14a} \\
&\iff 2=e^{14a} \\
&\iff \ln(2)=14a \\
&\iff a=\dfrac{\ln(2)}{14}
\end{array}$
$\quad$
2. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t \geqslant 0$, \[N(t) = N_0\text{e}^{0,05t}.\] La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à $10^4$ cellules indétectables. En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait -elle redevenir détectable au toucher ?
On veut résoudre l’inéquation :
$\begin{array}{rl} N(t)\geqslant 10^9 &\iff 10^4\text{e}^{0,05t} \geqslant 10^9 \\
&\iff e^{0,05t}\geqslant 10^5 \\
&\iff 0,05t \geqslant \ln\left(10^5\right) \\
&\iff t \geqslant \dfrac{ \ln\left(10^5\right)}{0,05}
\end{array}$
C’est donc entre la $230^{\text{e}}$ et la $231^{\text{e}}$ semaine que la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher.
$\quad$

 

PartieB

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en $\mu$mol.L$^{-1}$, peut être modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $c$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[c(t) = \dfrac{D}{k}\left(1 - \text{e}^{- \frac{k}{80}t}\right)\] où

• $D$ est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromole par heure;
• $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

1. Détermination de la clairance Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 $\mu$mol.h$^{-1}$ ; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 $\mu$mol.L$^{-1}$.
   1. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l'équation \[112 \left(1- \text{e}^{-\frac{3}{40} k}\right) - 6,8k = 0.\]
   Avec $D=112$, $k$ est solution de l’équation :
   $\begin{array}{rl}c(6)=6,8 &\iff \dfrac{112}{k}\left(1-\text{e}^{-\frac{6k}{80}}\right)=6,8 \\
   &\iff 112\left(1-\text{e}^{-\frac{3k}{40}}\right)=6,8k \\
   &\iff 112\left(1-\text{e}^{-\frac{3k}{40}}\right)-6,8k=0
   \end{array}$
   $\quad$
   
   2. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
   On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=112\left(1-\text{e}^{-\frac{3x}{40}}\right)-6,8x$.
   Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{array}{rl} f'(x)&=112\times \dfrac{3}{40}\text{e}^{-\frac{3x}{40}}-6,8 \\
   &=8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8
   \end{array}$
   $\begin{array}{rl} f'(x)=0 &\iff 8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8 = 0 \\
   &\iff \text{e}^{-\frac{3x}{40}}=\dfrac{17}{21} \\
   &\iff -\dfrac{3x}{40}=\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
   &\iff x=-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
   \end{array}$
   et
   $\begin{array} {rl}f'(x)>0 &\iff 8,4\text{e}^ {-\frac{3x}{40}}-6,8 > 0 \\
   &\iff \text{e}^{-\frac{3x}{40}}>\dfrac{17}{21} \\
   &\iff -\dfrac{3x}{40}>\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
   &\iff x<-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
   \end{array}$
   On note $\alpha = -\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
   $f(0)=0$ donc, puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;\alpha[$ on a $f(x)>0$ et l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur ce dernier intervalle.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
   $f(\alpha) \approx 2,17 > 0$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{3x}{40}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \\text{e}^{X}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\frac{3x}{40}}=0$ etc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   Or $0\in \left]-\infty;f(\alpha)\right[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $k_0$ sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ et donc finalement sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   
   3. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
   D’après la calculatrice $k_0\approx 5,85$.
   La clairance du patient est donc de $5,85$L.h$^{-1}$.
   $\quad$
2. Réglage du débit
   1. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+ \infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
   Puisque $k>0$ on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{kt}{80}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} c(t)=\dfrac{D}{k}$
   $\quad$
   
   2. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 $\mu$mol.L$^{-1}$. En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.
   On veut que $\dfrac{D}{5,85}<16 \iff D < 93,6$.
   Le débit doit donc être de $93,6$ µmol.L$^{-1}$.
   $\quad$