Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 5 septembre 2017 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B sont indépendantes.
On s'intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l'an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} u_0 &=&0,3\\ u_{n+1} &=&0,9u_n\left(1 - u_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l'année 2001 puis de l'année 2002.
2. On admet que, pour tout entier naturel $n\:$, $u_n$ et $1 - u_n$ appartiennent à l'intervalle $[0~;~1]$.
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n\:$, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,9u_n$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 0,3 \times 0,9^n$.
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l'avenir de cette population de tortues ?
3. Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$~individus, alors l'espèce est menacée d'extinction. On souhaite qu'à la fin de son exécution, l'algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues. Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il satisfasse cette exigence. $$\begin{array}{|l c|}\hline \text{Variables} : & u \text{ est un réel}\\ & n \text{ est un entier naturel}\\ \textbf{Traitement} : & u \text{ prend la valeur } 0,3 \\ & n \text{ prend la valeur } 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie} : &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$ La version allégée à partir de 2018: $$\begin{array}{|l|}\hline& u\leftarrow 0,3 \\ & n \leftarrow 0 \\ &\text{Tant que } \:\ldots\:\text{ faire :}\\ &\hspace{0,5cm}\begin{array}{|l}\\ ~\\ ~\\ ~\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ &\text{Afficher} \:\ldots\\ \hline \end{array} $$

PartieB

Au début de l'année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d'assurer la pérennité de l'espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L'évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[\left\{\begin{array}{r c l} v_{10} &=&0,032\\ v_{n+1} &=&1,06v_n\left(1 - v_n\right) \end{array}\right.\] où pour tout entier naturel $n \geqslant 10$,\: $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l'année $2000+n$.

1. Calculer le nombre de tortues au début de l'année 2011 puis de l'année 2012.
2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : \[\ell = 1,06\ell(1 - \ell).\]
3. La population de tortues est-elle encore en voie d'extinction ?