Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Wallis et Futuna 28 novembre 2017 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un territoire donné, on s'intéresse à l'évolution couplée de deux espèces : les buses (les prédateurs) et les campagnols (les proies). Des scientifiques modélisent, pour tout entier naturel $n$, cette évolution par : \[\left\{\begin{array}{rcl} b_0 &=& 1000 \\ c_0 &=& 1500 \\ b_{n+1} &=&\ - 0,3 b_n + 0,5c_n\\ c_{n+1} &=&- 0,5b_n +1,3c_n \end{array}\right.\] où $b_n$ représente approximativement le nombre de buses et $c_n$ le nombre approximatif de campagnols le $1^\text{er}$ juin de l'année $2000 + n$ (où $n$ désigne un entier naturel).

1. On note $A$ la matrice $\begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 \\ -0,5 & 1,3\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n$, $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix} b_n \\ c_n \end{pmatrix}$.
   1. Vérifier que $U_1 = \begin{pmatrix} 1050 \\ 1450 \end{pmatrix}$ et calculer $U_2$.
   On a $\begin{cases} b_1=0,3\times 1~000+0,5\times 1~500\\c_1=-0,5\times 1~000+1,3\times 1~500\end{cases}$ soit $\begin{cases} b_1=1~050\\c_1=1~450\end{cases}$
   Ainsi $U_1=\begin{pmatrix}1~050\\1~450\end{pmatrix}$
   $\quad$
   
   2. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = AU_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{cases} b_{n+1}=0,3b_n+0,5c_n\\c_{n+1}=-0,5b_n+1,3c_n\end{cases} \iff \begin{pmatrix}b_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&0,5\\-0,5&1,3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b_n\\c_n\end{pmatrix}$ $\iff U_{n+1}AU_n$.
   $\quad$
   On donne les matrices $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $T = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,5 \\ 0 & 0,8 \end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. On admet que $P$ a pour inverse une matrice $Q$ de la forme $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix}$ où $a$ est un réel.
   1. Déterminer la valeur de $a$ en justifiant.
   $Q$ est la matrice inverse de $P$ donc
   $\begin{align*} PQ=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} &\iff \begin{pmatrix}1&0\\1+a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \\
   &\iff 1+a=0 \\
   &\iff a=-1
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. On admet que $A = PTQ$. Démontrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a \[A^n=PT^nQ.\]
   Montrons par récurrence sur $n$ que $A^n=PT^nQ$.
   Initialisation : il est admis que $A=PTQ$. La propriété est donc vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=PT^nQ$
   Montrons qu’elle est vraie au rang suivant c’est-à-dire $A^{n+1}=PT^{n+1}Q$
   $\begin{align*} A^{n+1}&=A^nA\\
   &=PT^nQPTQ \\
   &=PT^nTQ\\
   &=PT^{n+1}Q
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $A^n=PT^nQ$.
   $\quad$
   c. Initialisation : Si $n=1$ on a :
   $\begin{pmatrix}0,8&0,5\times 1\times 1\\0&0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}=T$
   La propriété est donc vraie au rang $1$
   $\quad$
   Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
   Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $T^{n+1}=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5(n+1)\times 0,8^{n}\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}$
   $\begin{align*} T^{n+1}&=T^nT \\
   &=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix} 0,8^{n+1}+0&0,5\times 0,8^{n}+0,5n\times 0,8^n\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5\times 0,8^{n}(1+n)\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   3. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier $n$ non nul, \[T^n=\begin{pmatrix} 0,8^n & 0,5n\times 0,8^{n - 1 } \\ 0 & 0,8^n \end{pmatrix}.\]
Initialisation : Si $n=1$ on a :
$\begin{pmatrix}0,8&0,5\times 1\times 1\\0&0,8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix}=T$
La propriété est donc vraie au rang $1$
$\quad$
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang $n$ : $T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $T^{n+1}=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5(n+1)\times 0,8^{n}\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} T^{n+1}&=T^nT \\
&=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,8&0,5\\0&0,8\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix} 0,8^{n+1}+0&0,5\times 0,8^{n}+0,5n\times 0,8^n\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}0,8^{n+1}&0,5\times 0,8^{n}(1+n)\\0&0,8^{n+1}\end{pmatrix}
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :$T^n=\begin{pmatrix}0,8^n&0,5n\times 0,8^{n-1}\\0&0,8^n\end{pmatrix}$.
$\quad$
3. Lucie exécute l'algorithme ci-dessous et obtient en sortie $N = 40$. Quelle conclusion Lucie peut-elle énoncer pour les buses et les campagnols ? $$\begin{array}{|rl|} \hline \text{Initialisation: }& N \text{prend la valeur } 0 \\ & B \text{ prend la valeur 1000} \\ & C \text{ prend la valeur 1500} \\ \text{Traitement :} & \text{Tant que } B > 2 \text{ ou } C > 2 \\ & \qquad N \text{ prend la valeur } N + 1 \\ & \qquad R \text{ prend la valeur }B \\ & \qquad B \text{ prend la valeur } - 0,3R + 0,5C \\ & \qquad C \text{ prend la valeur }- 0,5R + 1,3C \\ &\text{ Fin Tant Que} \\ \text{Sortie :} & \text{Afficher } N \\ \hline \end{array} $$
L’algorithme permet de dire qu’en 2040 le nombre de buses et celui de campagnols seront inférieurs ou égaux à $2$ (ce qui est très bas).
$\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a \[U_n = \begin{pmatrix} 1000 \times 0,8^n +\dfrac{625}2n \times 0,8^n \\[.4cm] 1500 \times 0,8^n + \dfrac{625}2n \times 0,8^n \end{pmatrix} \] et \[n \leqslant 10 \times 1,1^n.\]
   1. En déduire les limites des suites $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
   Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $b_n=1~000\times 0,8n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$ et $c_n=1~500\times 0,8^n+\dfrac{625}{2}n\times 0,8^n$
   On a $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$
   On a admis que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $n \leq 10 \times 1,1^n \iff n \times 0,8^n \leq 10 \times 0,88^n$
   Or $-1<0,88<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,88^n=0$
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}  b_n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} c_n=0$
   $\quad$
   
   2. Des mesures effectuées dans des territoires comparables montrent que la population de campagnols reste toujours supérieure à au moins $50$ individus. À la lumière de ces informations, le modèle proposé dans l'exercice vous paraît-il cohérent ?
   Les mesures effectuées permettent de dire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $b_n \geq 50$ et $c_n \geq 50$ ce qui contredit le fait que les limites respectives des suites sont nulles.
   Le modèle proposé ne paraît donc pas cohérent.
   $\quad$