Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2017.

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2017

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

 

  1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
    Ex1 tab1
  2. Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

 

Partie B


Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme.
Ex1 courbe

  1. Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine.

On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$.

  1. Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$.
  2. Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $]0~;~1]$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $]0~;~1] $ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.
    Ex1 tab2
      Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$.
  3. On considère l'algorithme présenté ci-dessous. $$\begin{array}{|lc|}\hline \text{VARIABLES } : &A, B \text{ et } C \text{ sont des nombres };\\ & p \text{ est un entier naturel }.\\ \text{ INITIALISATION } : & \text{ Demander la valeur de } p\\ & A \text{ prend la valeur } 0\\ &B \text{ prend la valeur } 1\\ \text{ TRAITEMENT } : & \text{Tant que } B - A > 10^{-p}\\ &\hspace{0.25cm} \begin{array}{|l} C \text{ prend la valeur } (A + B)/2\\ \text{Si } \mathcal{H}(C) > 0,5\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ Alors } A \text{ prend la valeur de }C\\ \text{ Sinon }B \text{ prend la valeur de } C\\ \end{array}\\ \text{ Fin de la boucle Si } \\ \end{array}\\ &\text{ Fin de la boucle Tant que }\\ \text{SORTIE } : &\text{Afficher } A \text{ et } B.\\ \hline \end{array} $$ Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ?
  4. Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Partie A

 

  1. Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous.
    Ex1 tab1
  2. $f(0)=0\times \text{e}^{-0}=0\times 1 = 0$
    $f(x)=-(-x)\text{e}^{-x}$
    $\left.\begin{array}{l}\lim\limits_{x\to+\infty} -x=-\infty \\
    \lim\limits_{X \to -\infty}X\text{e}^X=0\end{array}\right\}$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
    La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=\text{e}^{-x}-x\text{e}^{-x}=(1-x)\text{e}^{-x}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
    Or $1-x>0 \iff x<1$ et $1-x=0\iff x=1$
    On en déduit donc que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    De plus $f(1)=1\times \text{e}^{-1}=\dfrac{1}{\text{e}}$.
  3. Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
  4. $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    $F'(x)=-1\times \text{e}^{-x}-(-x-1)\text{e}^{-x}=(-1+x+1)\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}=f(x)$.
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

 

Partie B


Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme.
Ex1 courbe

  1. Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine.
  2. On veut résoudre l’équation $f(x)=ax \iff x\text{e}^{-x}=ax \iff x\text{e}^{-x}-ax=0\iff x\left(\text{e}^{-x}-a\right)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $\text{e}^{-x}-a=0$
    Or $\text{e}^{-x}-a=0\iff \text{e}^{-x}=a \iff -x=\ln a \iff x=-\ln a$
    La droite $D_a$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ ont donc un unique point d’intersection distinct de l’origine d’abscisse $x_M=-\ln a$.

On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$.

  1. Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$.
  2. $\mathscr{H}_a$ est l’aire du domaine compris entre la droite $D_a$, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=-\ln a$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \mathscr{H}_a&=\displaystyle \int_0^{-\ln a} \left(f(x)-ax\right) \;dx \\
    &=\left[(-x-1)\text{e}^{-x}-\dfrac{ax^2}{2}\right]_0^{-\ln a} \\
    &=\left(\ln a-1\right)\text{e}^{\ln a}-\dfrac{a\left(\ln a\right)^2}{2}-(-1)\text{e}^0 \\
    &=\left(\ln a-1\right)\times a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
    &=a\ln a-a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1\\
    &=a\ln a-\dfrac{1}{2}a\left(\ln a\right)^2+1-a
    \end{align*}$
  3. Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur $]0~;~1]$ par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur $]0~;~1] $ et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.
    Ex1 tab2
      Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$.
  4. La fonction $\mathscr{H}$ est continue (car dérivable) sur l’intervalle $]0;1]$ et strictement décroissante sur cet intervalle.
    De plus $\mathscr{H}(0)=1>0,5$ et $\mathscr{H}(1)=0<0,5$. Or $0,5\in]0;1[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $\mathscr{H}(x)=0,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  5. On considère l'algorithme présenté ci-dessous. $$\begin{array}{|lc|}\hline \text{VARIABLES } : &A, B \text{ et } C \text{ sont des nombres };\\ & p \text{ est un entier naturel }.\\ \text{ INITIALISATION } : & \text{ Demander la valeur de } p\\ & A \text{ prend la valeur } 0\\ &B \text{ prend la valeur } 1\\ \text{ TRAITEMENT } : & \text{Tant que } B - A > 10^{-p}\\ &\hspace{0.25cm} \begin{array}{|l} C \text{ prend la valeur } (A + B)/2\\ \text{Si } \mathcal{H}(C) > 0,5\\ \hspace{0.5cm} \begin{array}{|l} \text{ Alors } A \text{ prend la valeur de }C\\ \text{ Sinon }B \text{ prend la valeur de } C\\ \end{array}\\ \text{ Fin de la boucle Si } \\ \end{array}\\ &\text{ Fin de la boucle Tant que }\\ \text{SORTIE } : &\text{Afficher } A \text{ et } B.\\ \hline \end{array} $$ Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ?
  6. Les valeurs $A$ et $B$ sont, respectivement, un minorant et un majorant de $\alpha$ d’amplitude inférieure ou égale à $10^{-p}$.
  7. Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.
  8. A l’aide de la calculatrice, on obtient l’encadrement $0,06< \alpha<0,07$ d’amplitude $0,01$.

Exercice 2 3 points


Commun à tous les candidats

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.

  1. La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près.
  2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.

 


Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats

Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.

  1. La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près.
  2. La durée de vie moyenne est de quatre ans. Donc $E(T)=4=\dfrac{1}{\lambda}$ Par conséquent $\lambda =\dfrac{1}{4}=0,25$.
    On veut calculer $P_{(T\geq 3)}(T\geq 2+3)=P(T\geq 2)$ (durée de vie sans vieillissement)
    Or $P(T \geq 2)=\text{e}^{-0,25 \times 2}=\text{e}^{-0,5}\approx 0,61$
    L’affirmation est donc fausse.
  3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\mathbb C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral.
  4. $z^3-3z^2+3z=0\iff z\left(z^2-3z+3\right)=0 \iff z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
    On calcule le discriminant de $z^2-3z+3=0$
    $\Delta = (-3)^-3\times 4= -3<0$
    L’équation du second degré possède donc deux solutions complexes $z_1=\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2= \overline{z_1}=\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
    Les solutions de l’équation $z^3-3z^2+3z=0$ sont donc $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
    On appelle respectivement $O$, $A$ et $B$ les points d’affixes $0$, $\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
    $OA=\left|z_A\right| = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3}$
    $OB=\left|z_B\right|=\left| \overline{z_A}\right|=\sqrt{3}$
    $AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|\text{i} \sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$.
    Le triangle $OAB$ est donc équilatéral.
    L’affirmation est donc vraie.

 

 


Exercice 3 4 points


Probabilités

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.

Partie A


Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : « il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen » ?

Partie B


Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A:

On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ». Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.

Partie C


On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $ Z = \frac{T - 225}{\sigma}$.

 


Correction de l'exercice 3 (4 points)


Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.

Partie A


Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : « il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen » ?

On a $n=34\geq 30$, $p=0,5$ donc $np=17\geq 5$ et $n(1-p)=17\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence du thème A à l’examen est donc

$\begin{align*} I_{34}&=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}};0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 \times 0,5}{34}}\right] \\
&\approx [0,331;0,669]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{22}{34}\approx 0,647 \in I_{34}$.

On ne peut donc pas rejeter, au seuil de $95\%$ l’affirmation faite.
$\quad$

Partie B


Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A:

  • $30\,\%$ des étudiants n'ayant pas sµivi le stage ne traitent pas l'exercice ;
  • $\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité.

On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : « Je n'ai pas du tout traité le thème A ». Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près.

On appelle $S$ l’événement “l’étudiant a suivi le stage” et $A$ l’événement “l’élève a traité le thème A”. On obtient ainsi l’arbre pondéré suivant :

ArbreNC2017

On veut calculer $p_{\overline{A}}(S)$

D’après la formule des probabilités totales on a :

$\begin{align*} p\left(\overline{A}\right)&=p\left(S\cap \overline{A}\right)+p\left(\overline{S}\cap \overline{A}\right) \\
&=0,2\times \dfrac{1}{6}+0,8\times 0,3 \\
&=\dfrac{41}{150}
\end{align*}$

Par conséquent :

$\begin{align*} p_{\overline{A}}(S)&=\dfrac{p\left(\overline{A}\cap S\right)}{p\left(\overline{A}\right)} \\
&=\dfrac{0,2 \times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{41}{150}} \\
&=\dfrac{5}{41} \\
&\approx 0,122
\end{align*}$
$\quad$

Partie C


On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. On pourra, par exemple, introduire la variable aléatoire $ Z = \frac{T - 225}{\sigma}$.

 

On a :

$\begin{align*} P(T\leq 235) = 0,98 &\iff P(T-225 \leq 235 -225) = 0,98 \\
&\iff P(T-225 \leq 10)=0,98 \\
&\iff P\left(\dfrac{T-225}{\sigma}\leq \dfrac{10}{\sigma}\right)=0,98
\end{align*}$

La variable aléatoire $Z=\dfrac{T-225}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
Or, d’après la calculatrice, $P(Z\leq k)=0,98$ si $ k\approx 2,05$

Par conséquent $\dfrac{10}{\sigma} \approx 2,05$ soit $\sigma \approx 4,9$.

$\quad$

 


Exercice 4 4 points


Commun à tous les candidats


On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.$$ On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: $$\begin{array} {|c|c|c|c| }\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &u_n &u_n \\ \hline 2 &n &(\text{ en valeurs exactes })&(\text{ en valeurs approchées })\\ \hline 3 & 0 &0 &0\\ \hline 4 & 1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 & 2 &2/3 & 0,666666667 \\ \hline 6 & 3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 & 4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 & 5 &5/6 & 0,833333333 \\ \hline 9 & 6 &6/7 & 0,857142857 \\ \hline 10& 7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11& 8 &8/9 & 0,888888889 \\ \hline 12& 9 &9/10 &0,9\\ \hline 13& 10 &10/11 & 0,909090909 \\ \hline \end{array}$$ Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

 


Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.$$ On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: $$\begin{array} {|c|c|c|c| }\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &u_n &u_n \\ \hline 2 &n &(\text{ en valeurs exactes })&(\text{ en valeurs approchées })\\ \hline 3 & 0 &0 &0\\ \hline 4 & 1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 & 2 &2/3 & 0,666666667 \\ \hline 6 & 3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 & 4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 & 5 &5/6 & 0,833333333 \\ \hline 9 & 6 &6/7 & 0,857142857 \\ \hline 10& 7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11& 8 &8/9 & 0,888888889 \\ \hline 12& 9 &9/10 &0,9\\ \hline 13& 10 &10/11 & 0,909090909 \\ \hline \end{array}$$ Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge.

 

Montrons par récurrence sur $n$ que $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.

Initialisation : $u_0=0$ et $\dfrac{0}{0+1}=0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2-u_n} \\
&=\dfrac{1}{2-\dfrac{n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2(n+1)-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{2n+2-n}{n+1}} \\
&=\dfrac{1}{\dfrac{n+2}{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{n+2}
\end{align*}$

La propriété est vraie au rang $n+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}$

D’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n}{n+1}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n}=1$.

Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

$\quad$

 


5 points


Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,~ J,~ K)$. On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\]

    1. Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
    2. Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
    3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
    1. Déterminer la nature du triangle ABC.
    2. Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{1122}}{2}$.
    1. Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
    2. La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H.
  1. Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \[\dfrac{\text{ Aire de la base} \times \text{ hauteur} }{3}.\]

 


Correction de l'exercice de Géométrie 5 points


Commun à tous les candidats

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I,~ J,~ K)$. On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\]

    1. Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
    2. $\vec{AB}\begin{pmatrix}7\\-4\\1\end{pmatrix}$
      $\vec{AC}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}$
      $\dfrac{7}{2} \neq \dfrac{-4}{3}$
      Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires et définissent donc bien un plan.
      $\quad$
    3. Prouver que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
    4. $\vec{n}.\vec{AB}=5\times 7+16\times (-4)+29\times 1 =0$
      $\vec{n}.\vec{AC}=5\times 2+16\times 3+29\times (-2) =0$
      Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
      $\quad$
    5. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
    6. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
      $5x+16y+29z+d=0$.
      Le point $A(-1;-1;0)$ appartient au plan $(ABC)$.
      Par conséquent $-5-16+d=0 \iff d=21$.
      Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $5x+16y+29z+21=0$.
    1. Déterminer la nature du triangle ABC.
    2. $\vec{AB}.\vec{AC}=14-12-2=0$.
      Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
      Regardons s’il est également isocèle.
      $AB=\sqrt{49+16+1}=\sqrt{66}$
      $AC=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}\neq AB$.
      Le triangle $ABC$ n’est donc pas isocèle.
      $\quad$
    3. Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{1122}}{2}$.
    4. L’aire du triangle $ABC$ est donc :
      $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
      &=\dfrac{\sqrt{66}\times \sqrt{17}}{2} \\
      &=\dfrac{\sqrt{1~122}}{2}
      \end{align*}$
      $\quad$
    1. Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
    2. Regardons si les coordonnées du point $S(13;37;54)$ vérifient l’équation cartésienne du plan $(ABC)$.
      $5\times 13+16\times 37+29\times 54+21=2~244\neq 0$.
      Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$ : les points $A,B,C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
      $\quad$
    3. La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H.
    4. La droite $(\Delta)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
      Un représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ est donc :
      $\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \qquad t\in \mathbb R \\z=54+29t\end{cases}$
      Les coordonnées du point $H$, point d’intersection du plan $(ABC)$ et de la droite $(\Delta)$ sont donc solution du système :
      $\begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5x+16y+29z+21=0\end{cases}$
      $\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\5(13+5t)+16(37+16t)+29(54+29t)+21=0\end{cases}$
      $\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\65+25t+592+256t+1~566+841t+21=0\end{cases} $
      $\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\1~122t+2~244=0\end{cases} $
      $\iff \begin{cases} x=13+5t \\y=37+16t \\z=54+29t\\t=-2\end{cases} $
      $\iff \begin{cases} t=-2\\x=3\\y=5 \\z=-4\end{cases} $
      Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;5;-4)$.
      $\quad$
  1. Déterminer le volume du tétraèdre SABC.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par \[\dfrac{\text{ Aire de la base} \times \text{ hauteur} }{3}.\]
  2. Calculons tout d’abord $SH=\sqrt{(3-13)^2+(37-5)^2+(-4-54)^2}=\sqrt{4~488}$
    Le volume du tétraèdre $SABC$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{\mathscr{A}\times SH}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1122}}{2}\times \sqrt{4~488}}{3}\\
    &=374
    \end{align*}$
    $\quad$
    GeoNC2017