Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points


Fonctions


Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$.
 Ex3Pondichery2017
On admet que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2,5~;~2,5]$ par: \[f(x) = \ln \left(- 2x^2 + 13,5\right).\] L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A : Étude de la fonction $f$

 

  1. Calculer $f ‘(x)$ pour $x \in [- 2,5~;~2,5]$.
  2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$. En déduire le signe de $f$ sur $[- 2,5~;~2,5]$.

 

Partie B : Aire de la zone de creusement


On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

  1. La courbe $\mathcal{C}$ est-elle un arc de cercle de centre 0 ? Justifier la réponse.
  2. Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est $\mathcal{A} = 8\displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$.
  3. L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \displaystyle\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$, notée $a$. On admet que : $a \leqslant I \leqslant a + \dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5$.
    1. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.
    2. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

 

$$\begin{array}{|l|}\hline \text{Variables}\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} R \text{ et } S \text{ sont des réels}\\ n \text{ et }k \text{ sont des entiers}\\ \end{array}\\ \text{Traitement} \\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} S \text{ prend la valeur } 0\\ \text{ Demander la valeur de } n\\ \text{Pour } k \text{ variant de } 1 \text{ à } n \text{ faire }\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} R \text{ prend la valeur } \dfrac{2,5}{n} \times f\left(\dfrac{2,5}{n}\times k \right)\\ S \text{ prend la valeur } S + R\\ \end{array}\\ \text{ Fin Pour}\\ \text{ Afficher } S\\ \end{array}\\ \hline \end{array}$$ Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $R$ et de $S$, arrondies à $10^{-6}$, obtenues lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$.

Ex3 tableauPondichery2017

Correction Exercice 3
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