Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par : \[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\] On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures


Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &\text{rang } n &\text{ terme } u_n &\text{ terme }v_n \\ \hline 2& 0 &1 &1\\ \hline 3& 1 &5 &3\\ \hline 4& 2 &19 &13\\ \hline 5& 3 &77 &51\\ \hline 6& 4 &307 &205\\ \hline \end{array} $$

  1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?
  2. Soit $n$ un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée.
  3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 12 &10 & 1258291 &838861\\ \hline 13 &Il &5033165 &3355443\\ \hline 14 &12 &20132659 &13421773\\ \hline 15 &13 &80530637 &53687091\\ \hline \end{array}$$ Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge ». Qu'en penser ?

 

Partie B : Étude arithmétique

 

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$.
  2. Soit $n$ un entier naturel. Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.

 

Partie C : Étude matricielle


Pour tout entier naturel $n$, on définit :

  • la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
  • les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
    1. Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l'inverse de $P$.
    2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$
    1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.
    2. En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.

 

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