Baccalauréat S Pondichéry 26 Avril 2017 - Correction Spécialité
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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par : \[u_0 = v_0 = 1\: \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 2u_n + 3v_n\: \text{et}\: v_{n+1} = 2u_n + v_n.\] On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
Partie A : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &\text{rang } n &\text{ terme } u_n &\text{ terme }v_n \\ \hline 2& 0 &1 &1\\ \hline 3& 1 &5 &3\\ \hline 4& 2 &19 &13\\ \hline 5& 3 &77 &51\\ \hline 6& 4 &307 &205\\ \hline \end{array} $$
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ? En B3 a pu saisir $=2*B2+3*C2$
- Soit $n$ un entier naturel. Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée. PGCD$(1;1)=1$, PGCD$(5;3)=1$, PGCD$(19,13)=1$.
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants : $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 12 &10 & 1258291 &838861\\ \hline 13 &Il &5033165 &3355443\\ \hline 14 &12 &20132659 &13421773\\ \hline 15 &13 &80530637 &53687091\\ \hline \end{array}$$ Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge ». Qu'en penser ? $\dfrac{u_{10}}{v_{10}}\approx 1,499~999~4$
En C3 on a pu saisir $=2*B2+C2$
$\quad$
Il semblerait donc que PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
$\dfrac{u_{11}}{v_{11}}\approx 1,500~000~15$
$\dfrac{u_{12}}{v_{12}}\approx 1,499~999~96$
$\dfrac{u_{13}}{v_{13}}\approx 1,500~000~01$
Il semblerait donc que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ converge vers $1,5$.
Partie B : Étude arithmétique
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $2u_n - 3v_n = (- 1)^{n+1}$. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0-3v_0=2-3=-1=(-1)^{0+1}$
- Soit $n$ un entier naturel. Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Si $n$ est impair alors $u_n-3v_n=(-1)^{n+1}=1$
La propriété est vraie au rang $0$
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$
$\begin{align*} 2u_{n+1}-3v_{n+1}&=2\left(2u_n+3v_n\right)-3\left(2u_n+v_n\right) \\
&=4u_n+6v_n-6u_n-3v_n \\
&=-2u_n+3v_n \\
&=-\left(2u_n-3v_n\right)\\
&=-(-1)^{n+1}\\
&=(-1)^{n+2}
\end{align*}$
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$.
$\quad$
D’après le théorème de Bezout on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$
Si $n$ est pair alors $-\left(u_n-3v_n\right)=-(-1)^{n+1}=1$
Donc $3v_n-2u_n=1$
D’après le théorème de Bezout on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$
Dans tous les cas on a PGCD$\left(u_n;v_n\right)=1$.
$\quad$
Partie C : Étude matricielle
Pour tout entier naturel $n$, on définit :
- la matrice colonne $X_n = \begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}$,
- les matrices carrées $P = \begin{pmatrix} 1&3\\- 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}(- 1)^n&3 \times 2^{2n}\\(- 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$
-
- Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&- 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l'inverse de $P$. $\begin{align*} \begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\times P&=\begin{pmatrix} 2+3&6-6\\1-1&3+2\end{pmatrix} \\
- On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{-1} X_0$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{(- 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5}\\ v_n&=&\dfrac{(- 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$
&=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
\end{align*}$
Par conséquent $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\times P=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
La matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}$ est donc l’inverse de $P$.
$\quad$
$\begin{align*} X_n&=Q_nP^{-1}X_0 \\
&=Q_n\times \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{1}{5}\times Q_n\times \begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\\
&=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}(-1)^{n+1}+3\times 2^{n+1}\\(-1)^n+2^{2n+2}\end{pmatrix}
\end{align*}$
Par conséquent $\begin{cases}u_n=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}\\\\v_n=\dfrac{(-1)^n+2^{2n+2}}{5}\end{cases}$
$\quad$ -
- Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{(- 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{(- 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$. $\begin{align*} \dfrac{u_n}{v_n}&=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{5}}{\dfrac{(-1)^n+2^{2n+2}}{5}} \\
- En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. $\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}=\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{(-1)^{n}}{4^n}=-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
&=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{(-1)^n+2^{2n+2}} \\
&=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}+3}}{\dfrac{(-1)^n}{2^{2n+1}+2}}
\end{align*}$
$\quad$
$\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(-1)^{n}}{4^n}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n$
Or $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n=0$
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
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