Baccalauréat S -- Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ de la manière suivante: $z_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[z_{n+1} = \dfrac{1}{3} z_{n} + \dfrac{2}{3}\text{i}.\] On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note A$_{n}$ le point du plan d'affixe $z_n$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=z_n-\text{i}$ et on note B$_n$ le point d'affixe $u_n$. On note C le point d'affixe $\text{i}$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-\text{i} \\
&=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\text{i}-\text{i} \\
&=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\text{i} \\
&=\dfrac{1}{3}\left(z_n-\text{i}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}u_n\end{align*}$
$\quad$
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n=\left (\dfrac{1}{3}\right )^{n} \left (1-\text{i}\right ).\]
Démontrons, par récurrence sur $n$, que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})$.
Initialisation :
Si $n=0$ alors $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})=1-\text{i}=z_0-\text{i}=u_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})$.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\text{i})$
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n \\
&=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})\\
&=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\text{i}) \end{align*}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})$.
$\quad$
3. 1. Pour tout entier naturel $n$, calculer, en fonction de $n$, le module de $u_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*}\left|u_n\right|&=\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})\right| \\
   &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\left|1-\text{i}\right| \\
   &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{1^2+(-1)^2} \\
   &=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Démontrer que \[\lim_{n\to +\infty} \left |z_n-\text{i} \right |=0.\]
   $-1 < \dfrac{1}{3} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|u_n\right|=0$
   C’est-à-dire $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\text{i}\right|=0$.
   $\quad$
   
   3. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat?
   Géométriquement, cela signifie que, pour de grandes valeur de $n$, le point $A_n$ est très proche du point $C$.
   $\quad$ O
4. 1. Soit $n$ un entier naturel. déterminer un argument de $u_n$.
   n a $|1-\text{i}|=\sqrt{2}$ donc $1-\text{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/4}$.
   Par conséquent $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/4}$.
   Un argument de $u_n$ est donc $-\dfrac{\pi}{4}$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que, lorsque $n$ décrit l'ensemble des entiers naturels, les points B$_n$ sont alignés.
   On considère deux entiers naturels non nuls $n$ et $m$.
   L’affixe du vecteur $\vec{B_0B_n}$ est
   $\begin{align*} c_n&=u_n-u_0\\
   &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\text{i})-(1-\text{i}) \\
   &=(1-\text{i})\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right) \end{align*}$
   L’affixe du vecteur $\vec{B_0B_m}$ est
   $\begin{align*} d_n&=u_m-u_0\\
   &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^m(1-\text{i})-(1-\text{i}) \\
   &=(1-\text{i})\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1\right) \end{align*}$
   Par conséquent $d_n=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1}c_n$.
   Les vecteurs $\vec{B_0B_n}$ et $\vec{B_0B_m}$ sont colinéaires.
   Les points $B_0$, $B_n$ et $B_m$ sont donc alignés.
   $\quad$
   Autre méthode :
   On considère deux entiers naturels $n$ et $m$.
   $\begin{align*} \left(\vec{OB_n},\vec{OB_m}\right)&=\left(\vec{u},\vec{OB_m}\right)-\left(\vec{OB_n},\vec{u}\right) \\
   &=-\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) ~~[2\pi] \\
   &=0~~[2\pi]\end{align*}$
   Les points $O$, $B_n$ et $B_M$ sont donc alignés.
   Cela signifie donc que tous les points $B_n$ appartiennent à la droite $\left(OB_0\right)$.
   $\quad$
   
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point A$_n$ appartient à la droite d'équation réduite: \[y=-x+1.\]
    On a $u_0=1-\text{i}$. Une équation de la droite $\left(OB_0\right)$ est donc $y=-x$.
   Pour tout entier naturel $n$, il existe donc un réel $x_n$ tel que m’affixe du point $B_n$  soit $u_n=x_n(1-\text{i})$.
   Or l’affixe du point $B_n$ est $u_n=z_n-\text{i}$.
   Par conséquent, en notant $a_n+\text{i} b_n$ la forme algébrique de $z_n$ on a :
   $\begin{align*} x_n(1-\text{i})=a_n+\text{i} b_n-\text{i} &\iff \begin{cases} a_n=x_n \\-x_n=b_n-1\end{cases} \\
   &\iff \begin{cases} a_n=x_n \\b_n=-a_n+1\end{cases} \end{align*}$
   Le point $A_n$ appartient donc à la droite d’équation $y=-x+1$.
   $\quad$