Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018
Exercice 1 5 points
Les parties A , B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.
Partie A
Un commerçant reçoit les résultats d'une étude de marché sur les habitudes des consommateurs en France. Selon cette étude :
- 54 % des consommateurs privilégient les produits de fabrication française;
- 65 % des consommateurs achètent régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique, et parmi eux 72 % privilégient les produits de fabrication française.
On choisit un consommateur au hasard. On considère les évènements suivants :
- $B$ : « un consommateur achète régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique » ;
- $F$ : « un consommateur privilégie les produits de fabrication française ».
On note $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_C(A)$ la probabilité de $A$ sachant $C$.
- Justifier que $P\left(\overline{B} \cap F\right) = 0,072$.
- Calculer $P_F\left(\overline{B}\right)$.
- On choisit un consommateur n'achetant pas régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique. Quelle est la probabilité qu'il privilégie les produits de fabrication française ?
Partie B
Le commerçant s'intéresse à la quantité en kilogramme de farine biologique vendue chaque mois au détail dans son magasin. Cette quantité est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 2$.
- Au début de chaque mois, le commerçant s'assure d'avoir $95$~kg dans son stock. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois ?
- Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,02$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Partie C
Dans cette étude de marché, il est précisé que 46,8 % des consommateurs en France privilégient des produits locaux. Le commerçant constate que parmi ses 2500 clients, 1025 achètent régulièrement des produits locaux. Sa clientèle est-elle représentative des consommateurs en France ?
Correction de l'exercice 1 (5 points)
Les parties A , B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.
Partie A
Un commerçant reçoit les résultats d'une étude de marché sur les habitudes des consommateurs en France. Selon cette étude :
- 54 % des consommateurs privilégient les produits de fabrication française;
- 65 % des consommateurs achètent régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique, et parmi eux 72 % privilégient les produits de fabrication française.
On choisit un consommateur au hasard. On considère les évènements suivants :
- $B$ : « un consommateur achète régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique » ;
- $F$ : « un consommateur privilégie les produits de fabrication française ».
On note $P(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ et $P_C(A)$ la probabilité de $A$ sachant $C$.
- Justifier que $P\left(\overline{B} \cap F\right) = 0,072$. D’après la formule des probabilités totales on a :
- Calculer $P_F\left(\overline{B}\right)$. On a :
- On choisit un consommateur n'achetant pas régulièrement des produits issus de l'agriculture biologique. Quelle est la probabilité qu'il privilégie les produits de fabrication française ? On veut calculer :
$\begin{align*} &P(F)=P(B\cap F)+P\left(\overline{B}\cap F\right) \\
&\iff 0,54=0,65\times 0,72+P\left(\overline{B}\cap F\right) \\
&\iff 0,54=0,468+P\left(\overline{B}\cap F\right) \\
&\iff P\left(\overline{B}\cap F\right)=0,072
\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P_F\left(\overline{B}\right)&=\dfrac{P\left(\overline{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,072}{0,54} \\
&=\dfrac{2}{15} \\
&\approx 0,133\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} p_{\overline{B}}(F)&=\dfrac{P\left(\overline{B}\cap F\right)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,072}{1-0,65} \\
&=\dfrac{36}{175}\\
&\approx 0,206
\end{align*}$
$\quad$
Partie B
Le commerçant s'intéresse à la quantité en kilogramme de farine biologique vendue chaque mois au détail dans son magasin. Cette quantité est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 2$.
- Au début de chaque mois, le commerçant s'assure d'avoir $95$ kg dans son stock. Quelle est la probabilité qu'il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois ? On veut calculer $P(X > 95) = 0,5-P(90 \leq X \leq 95) \approx 0,006$.
- Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que $P(X < a) = 0,02$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. À l’aide de la calculatrice on trouve $a\approx 85,89$
La probabilité qu’il ne puisse pas répondre à la demande des clients durant le mois est d’environ $0,006$.
$\quad$
Cela signifie que la probabilité que le commerçant vende moins de $85,89$ kilogramme de farine est de $2\%$.
$\quad$
Partie C
On a $n=2~500$ et $p=0,468$.
Par conséquent $n\geq 30$, $np=1~170\geq 5$ et $n(1-p)=1~130 \geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,468-1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}};0,468+1,96\sqrt{\dfrac{0,468\times 0,532}{2~500}}\right] \\
&\approx [0,448;0,488]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{1~025}{2~500}=0,41 \notin I_{2~500}$
La clientèle du commerçant n’est donc pas, au risque d’erreur de $5\%$, représentative des consommateurs en France
$\quad$
Exercice 2 4 points
Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours. Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours. Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 10\text{e}^{u(x)}\] où $u$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[u(x) = - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
- Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x) = - u(x)\text{e}^{u(x)}$. En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
-
- Calculer $f(20)$. En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse.
- Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ?
- On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale. On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$. On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ et on admet que : \[f''(x) = \dfrac{1}{10}u(x)\text{e}^{u(x)}(1 + u(x)).\]
- Déterminer les variations de $f'$ sur $[0~;~+ \infty[$.
- En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale.
Correction de l'exercice 2 (4 points)
Lorsque la queue d'un lézard des murailles casse, elle repousse toute seule en une soixantaine de jours. Lors de la repousse, on modélise la longueur en centimètre de la queue du lézard en fonction du nombre de jours. Cette longueur est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = 10\text{e}^{u(x)}\] où $u$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[u(x) = - \text{e}^{2 - \frac{x}{10}}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
- Vérifier que pour tout $x$ positif on a $f'(x) = - u(x)\text{e}^{u(x)}$. En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Pour tout réel $x$ positif on a $ f'(x)=10u'(x)\text{e}^{u(x)}$.
-
- Calculer $f(20)$. En déduire une estimation, arrondie au millimètre, de la longueur de la queue du lézard après vingt jours de repousse. $u(20)=-\text{e}^{2-\frac{20}{10}}=-\text{e}^0=-1$
- Selon cette modélisation, la queue du lézard peut-elle mesurer $11$ cm ? On a $\lim\limits_{x \to +\infty} 2-\dfrac{x}{10}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$.
Donc $f(20)=10\text{e}^{-1} \approx 3,7$
Après vingt jours de repousse la queue mesure environ $3,7$ cm.
$\quad$
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=10\text{e}^0=10<11$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et majorée par $10$.
La queue du lézard ne donc pas mesurer $11$ cm.
$\quad$ - On souhaite déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance est maximale. On admet que la vitesse de croissance au bout de $x$ jours est donnée par $f'(x)$. On admet que la fonction dérivée $f'$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, on note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ et on admet que : \[f''(x) = \dfrac{1}{10}u(x)\text{e}^{u(x)}(1 + u(x)).\]
- Déterminer les variations de $f'$ sur $[0~;~+ \infty[$. La fonction exponentielle est strictement positive.
- En déduire au bout de combien de jours la vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale. La fonction $f’$ atteint donc son maximum quand $x=20$.
Le signe de $f"(x)$ ne dépend donc que de celui de $u(x)\left(1+u(x)\right)$.
On a vu à la question 1. que $u(x)<0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Étudions le signe de $1+u(x)$.
On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} 1+u(x)=0&\iff -\text{e}^{2-\frac{x}{10}}=-1 \\
&\iff \text{e}^{2-\frac{x}{10}}=\text{e}^0 \\
&\iff 2-\dfrac{x}{10}=0 \\
&\iff x=20\end{align*}$
De plus
$\begin{align*} 1+u(x)>0&\iff -\text{e}^{2-\dfrac{x}{10}}>-1 \\
&\iff \text{e}^{2-\dfrac{x}{10}}<\text{e}^0 \\
&\iff 2-\dfrac{x}{10}<0 \\
&\iff x>20\end{align*}$
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
La vitesse de croissance de la longueur de la queue du lézard est maximale au bout de $20$ jours.
$\quad$
Or $u'(x)=-\left(-\dfrac{1}{10}\right)\text{e}^{2-\frac{x}{10}}=-\dfrac{u(x)}{10}$
Par conséquent $f'(x)=-\dfrac{10}{u(x)}\times 10\text{e}^{u(x)} = -u(x)\text{e}^{u(x)}$.
La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-u(x)$.
Or $u(x)=-\text{e}^{2-\frac{x}{10}}$.
Du fait de la positivité de la fonction exponentielle on a $u(x)<0$ sur $[0;+\infty[$.
Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
Exercice 3 4 points
Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes. Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ d'unité $100$ mètres. Le plan $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ avec $z < 0$ se situe dans l'océan. La modélisation des spécialistes établit que :
- la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=&3+t\\ y &=&6t\\ z &=&- 3t \end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;\]
- la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&10k\\ y&=&2 + 6k\\ z&=&- 4k \end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;\]
- Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île.
- L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
- Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$.
- On admet que la distance minimale entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est la distance HH$'$ où $\vec{\text{HH}'}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{n}$ avec H appartenant à la droite $\mathcal{D}_1$ et H$'$ appartenant à la droite $\mathcal{D}_2$. Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale. On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel
- Les scientifiques décident d'installer une balise en mer. Elle est repérée par le point B de coordonnées (2~;~4~;~0).
- Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale.
- En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes.
Correction de l'exercice 3 (5 points)
Deux espèces de tortues endémiques d'une petite île de l'océan pacifique, les tortues vertes et les tortues imbriquées, se retrouvent lors de différents épisodes reproducteurs sur deux des plages de l'île pour pondre. Cette île, étant le point de convergence de nombreuses tortues, des spécialistes ont décidé d'en profiter pour recueillir différentes données sur celles-ci.
Ils ont dans un premier temps constaté que les couloirs empruntés dans l'océan par chacune des deux espèces pour arriver sur l'île pouvaient être assimilés à des trajectoires rectilignes. Dans la suite, l'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ d'unité $100$ mètres. Le plan $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente le niveau de l'eau et on admet qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ avec $z < 0$ se situe dans l'océan. La modélisation des spécialistes établit que :
- la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues vertes a pour support la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=&3+t\\ y &=&6t\\ z &=&- 3t \end{array}\right.\:\text{avec } \:t\: \text{réel}\: ;\]
- la trajectoire empruntée dans l'océan par les tortues imbriquées a pour support la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&10k\\ y&=&2 + 6k\\ z&=&- 4k \end{array}\right.\:\text{avec } \:k\: \text{réel}\: ;\]
- Démontrer que les deux espèces ne sont jamais amenées à se croiser avant d'arriver sur l'île. Montrons que les deux droites ne possèdent pas de point d’intersection. Pour cela on résout le système :
- L'objectif de cette question est d'estimer la distance minimale séparant ces deux trajectoires.
- Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\13\\27\end{pmatrix}$ est normal aux droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$. Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_1$ est $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\6\\-3\end{pmatrix}$.
- On admet que la distance minimale entre les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ est la distance HH$'$ où $\vec{\text{HH}'}$ est un vecteur colinéaire à $\vec{n}$ avec H appartenant à la droite $\mathcal{D}_1$ et H$'$ appartenant à la droite $\mathcal{D}_2$. Déterminer une valeur arrondie en mètre de cette distance minimale. On pourra utiliser les résultats ci-après fournis par un logiciel de calcul formel $H$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $H(3+t;6t;-3t)$.
On a donc $\vec{u_1}.\vec{n}=3+78-81=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_1$.
Un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}_2$ est $u_2\begin{pmatrix}10\\6\\-4\end{pmatrix}$.
On a donc $\vec{u_2}.\vec{n}=30+78-108=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est normal à la droite $\mathscr{D}_2$.
$\quad$
$H’$ appartient à la droite $\mathscr{D}_2$. Il existe un réel $k$ tel que $H'(10k;2+6k;-4k)$
On a donc $\vec{HH’}\begin{pmatrix}10k-3-t\\2+6k-6t\\-4k+3t\end{pmatrix}$.
Les vecteurs $\vec{HH’}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $\ell$ tel que $\vec{HH’}=\ell \vec{n}$.
D’après le logiciel de calcul formel cela signifie que $k=\dfrac{675}{1~814}$ et $t=\dfrac{603}{907}$.
Ainsi les coordonnées de $\vec{HH’}$ sont $\begin{pmatrix} \dfrac{51}{907}\\\dfrac{221}{907}\\\dfrac{459}{907}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} HH’&=\| \vec{HH’} \| \\
&=\sqrt{\dfrac{51^2+221^2+459^2}{907^2}} \\
&\sqrt{\dfrac{262~123}{907}} \\
&\approx 0,56\end{align*}$
L’unité est de $100$ mètres.
Ainsi la distance minimale entre les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ est d’environ $56$ mètres.
$\quad$ - Les scientifiques décident d'installer une balise en mer. Elle est repérée par le point B de coordonnées (2~;~4~;~0).
- Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}_1$. Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que la distance B$M$ soit minimale. $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}_1$. Il existe un réel $t$ tel que $M(3+t;6t;-3t)$.
- En déduire la distance minimale, arrondie au mètre, entre la balise et les tortues vertes. En prenant $t=\dfrac{1}{2}$ on obtient :
Par conséquent
$\begin{align*} BM&=\sqrt{(3+t-2)^2+(6t-4)^2+(-3t)^2} \\
&=\sqrt{(t+1)^2+36t^2+16-48t+9t^2} \\
&=\sqrt{t^2+2t+1+45t^2-48t+16} \\
&=\sqrt{46t^2-46t+17}
\end{align*}$
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
La distance $BM$ est donc minimale quand la fonction $t\mapsto 46t^2-54t+17$ l’est.
Le minimum de cette fonction est atteint quand $t=-\dfrac{-46}{2\times 46}=\dfrac{1}{2}$
Les coordonnées du point $M$ cherché sont donc $M\left(\dfrac{7}{2};3;-\dfrac{3}{2}\right)$.
$\quad$
$BM=\sqrt{46t^2-46t+17}=\dfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 2,35$.
L’unité est de $100$ mètres.
La distance minimale entre la balise et les tortues vertes est d’environ $235$ mètres.
$\quad$
$\begin{align*} \begin{cases} 3+t=10k\\6t=2+6k\\-3t=-4k \end{cases} &\iff \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t \\3+t=\dfrac{15}{2}t\\6t=2+\dfrac{9}{2}t \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} k=\dfrac{3}{4}t\\3=\dfrac{13}{2}t\\\dfrac{3}{2}t=2 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases}k=\dfrac{3}{4}t\\t=\dfrac{6}{13}\\t=\dfrac{4}{3}\end{cases} \end{align*}$
Les deux dernières équations n’étant pas compatibles, le système n’admet pas de solution et les droites ne sont pas sécantes.
Les deux espèces ne sont donc jamais amenées à se croiser avant d’arriver sur l’île.
$\quad$
Exercice 4 3 points
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère les points A, B, C et D distincts d'affixes respectives $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$, $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ tels que : \[\left\{ \begin{array}{l c r} z_{\text{A}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{C}} &=& z_{\text{B}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{D}}\\ z_{\text{A}} + \text{i} z_{\text{B}}&=& z_{\text{C}} + \text{i} z_{\text{D}} \end{array}\right.\] Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
Correction de l'exercice 4 (3 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère les points A, B, C et D distincts d'affixes respectives $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$, $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ tels que : \[\left\{ \begin{array}{l c r} z_{\text{A}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{C}} &=& z_{\text{B}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{D}}\\ z_{\text{A}} + \text{i} z_{\text{B}}&=& z_{\text{C}} + \text{i} z_{\text{D}} \end{array}\right.\] Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
Les quatre points sont distincts sont les quatre affixes sont deux à deux différentes.
$z_A+z_C=z_B+z_D\iff z_A-z_B=z_D-z_C \iff \vec{BA}=\vec{CD}$.
Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
$\begin{align*} z_A+\text{i} z_B=z_C+\text{i} z_D &\iff z_A-z_C=\text{i}\left(z_D-z_B\right) \\
&\iff \dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}=\text{i} \end{align*}$
Par conséquent $\left(\vec{BD},\vec{CA}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près et $\dfrac{CA}{BD}=|\text{i}|=1$.
Les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires et de même longueur.
$ABCD$ est donc un carré.
$\quad$
Exercice 5 5 points
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, $u_1 = k$ et, pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{k u_n}.\]
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.
- Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$.
- À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$. La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule E2. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E & &A &B&C&D&E\\ \hline 1& n & u(n) & & & &1 & n & u(n) & &&\\ \hline 2& 0 &1 & &k= & 2,7182818 &2& 0& 1& & k= &0,9\\ \hline 3& 1 & 2,7182818 & & & &3 &1 &0,9 &&&\\ \hline 4& 2 & 2,7182818 & & & &4 &2 & 0,9 &&&\\ \hline 5& 3 &1 & & & &5 &3 &1 &&&\\ \hline 6& 4 & 0,1353353 & & & &6 &4 & 1,2345679 &&&\\ \hline 7& 5 & 0,0067319 & & & &7 &5 & 1,6935088 &&&\\ \hline 8& 6 & 0,0001234 & & & &8 &6 & 2,5811748 &&&\\ \hline 9& 7 &8,315E -07 & & & &9 &7 & 4,3712422&&&\\ \hline 10& 8 &2,061E -09 & & & &10 &8 & 8,2252633 &&&\\ \hline 11& 9 &1,88E -12 & & & &11 &9 & 17,196982 &&&\\ \hline 12& 10 &6,305E -16 & & & &12 &10 & 39,949576 &&&\\ \hline 13& 11 &7,781E-20 & & & &13 &11 & 103,11684 &&&\\ \hline 14& 12 &3,533E-24 & & & &14 &12 & 295,7362&&&\\ \hline 15&13 &5,9E-29 & & & &15 &13 & 942,40349 &&&\\ \hline 16&14 &3,625E-34 & & & &16 &14 & 3336,7738 &&&\\ \hline \end{array}$$
- Quelle formule, saisie dans la cellule B4, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
- Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Dans la suite, on suppose que $k = \:$ e.
On a donc $u_0 = 1,\: u_1 = \text{e }$ et, pour tout entier nature $n \::\: u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{{\rm e}u_n}$.
- On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right)$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ et de premier terme $v_0 = 1$.
- En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
- On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \dfrac{n(3 - n)}{2}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \ln \left(u_n\right)$.
-
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
- Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ par la méthode de votre choix (écriture d'un algorithme, résolution d'inéquation, etc.)
Correction de l'exercice 4 5 points
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, $u_1 = k$ et, pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{k u_n}.\]
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ existent et sont strictement positifs.
- Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $k$. $u_0=1$ et $u_1=k$ donc $u_2=\dfrac{k^2}{k\times 1}=k$.
- À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ pour deux valeurs de $k$. La valeur du réel $k$ est entrée dans la cellule E2. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E & &A &B&C&D&E\\ \hline 1& n & u(n) & & & &1 & n & u(n) & &&\\ \hline 2& 0 &1 & &k= & 2,7182818 &2& 0& 1& & k= &0,9\\ \hline 3& 1 & 2,7182818 & & & &3 &1 &0,9 &&&\\ \hline 4& 2 & 2,7182818 & & & &4 &2 & 0,9 &&&\\ \hline 5& 3 &1 & & & &5 &3 &1 &&&\\ \hline 6& 4 & 0,1353353 & & & &6 &4 & 1,2345679 &&&\\ \hline 7& 5 & 0,0067319 & & & &7 &5 & 1,6935088 &&&\\ \hline 8& 6 & 0,0001234 & & & &8 &6 & 2,5811748 &&&\\ \hline 9& 7 &8,315E -07 & & & &9 &7 & 4,3712422&&&\\ \hline 10& 8 &2,061E -09 & & & &10 &8 & 8,2252633 &&&\\ \hline 11& 9 &1,88E -12 & & & &11 &9 & 17,196982 &&&\\ \hline 12& 10 &6,305E -16 & & & &12 &10 & 39,949576 &&&\\ \hline 13& 11 &7,781E-20 & & & &13 &11 & 103,11684 &&&\\ \hline 14& 12 &3,533E-24 & & & &14 &12 & 295,7362&&&\\ \hline 15&13 &5,9E-29 & & & &15 &13 & 942,40349 &&&\\ \hline 16&14 &3,625E-34 & & & &16 &14 & 3336,7738 &&&\\ \hline \end{array}$$
- Quelle formule, saisie dans la cellule B4, permet par recopie vers le bas de calculer tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ? On saisit en $B4$ la formule $=B3*B3/($ $$ E$ $$2*B2)$
- Conjecturer, dans chaque cas, la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$ quand $k= \text{e }$ et tendent vers $+\infty$ quand $k=0,9$.
$\quad$
$\quad$
$u_3=\dfrac{k^2}{k\times k}=1$
$u_4=\dfrac{1^2}{k\times k}=\dfrac{1}{k^2}$
$\quad$
Dans la suite, on suppose que $k = \:$ e.
On a donc $u_0 = 1,\: u_1 = \text{e }$ et, pour tout entier nature $n \::\: u_{n+2} = \dfrac{u^2_{n+1}}{{\rm e}u_n}$.
- On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = \ln \left(u_{n+1}\right) - \ln \left(u_n\right)$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $- 1$ et de premier terme $v_0 = 1$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
- En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1-1\times n=1-n$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+2}\right)-\ln\left(u_{n+1}\right) \\
&=\ln \left(\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}\right) \\
&=\ln \left(\dfrac{u_{n+1}}{\text{e } u_n}\right) \\
&=\ln \left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)-\ln \text{e } \\
&=v_n-1
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-1$ et de premier terme $v_0=\ln \text{e}-\ln 1=1$.
$\quad$
$\quad$ - On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul la suite $\left(S_n\right)$ par $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_{n-1}$.
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \dfrac{n(3 - n)}{2}$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $S_n = \ln \left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} S_n&=v_0+v_n+\ldots+ v_{n-1} \\
&=n\times \dfrac{v_0+v_{n-1}}{2} \\
&=n\times \dfrac{1+1-(n-1)}{2} \\
&=n\times \dfrac{3-n}{2} \\
&=\dfrac{n(3-n)}{2}
\end{align*}$
$\begin{align*} S_n&=v_0+v_1+v_2+\ldots +v_{n-1} \\
&=\ln \left(u_1\right)-\ln\left(u_0\right)+\ln \left(u_2\right)-\ln\left(u_1\right)+\ln \left(u_3\right)-\ln\left(u_2\right)+\ldots +\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_{n-1}\right) \quad (*)\\
&=\ln \left(u_n\right)-\ln\left(u_0\right) \\
&=\ln \left(u_n\right) \end{align*}$
Car $u_0=1$ et $\ln 1 =0$
À l’étape $(*)$ les termes se compensent deux à deux à l’exception de $\ln \left(u_n\right)$ et $\ln\left(u_0\right)$. On parle de somme télescopique.
$\quad$ -
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On a donc d’après les deux questions précédentes
- Trouver la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 10^{-50}$ par la méthode de votre choix (écriture d'un algorithme, résolution d'inéquation, etc.) On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\ln \left(u_n\right) =\dfrac{n(3-n)}{2}$ pour tout entier naturel $n$ non nul soit $u_n=\text{e}^{n(3-n)/2}$.
De plus $\text{e}^{0\times (3-0)/2}=1=u_0$.
Donc pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\text{e}^{n(3-n)/2}$.
$\quad$
$\begin{align*} u_n<10^{-50} &\iff \text{e}^{n(3-n)/2}<10^{-50} \\
&\iff \dfrac{n(3-n)}{2}<\ln \left(10^{-50}\right) \\
&\iff -n^2+3n-2\ln \left(10^{-50}\right) <0
\end{align*}$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\Delta =3^2-4\times 2\ln \left(10^{-50}\right) \approx 930>0$
Les racines de ce polynômes sont :
$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{\Delta}}{-2}\approx 16,7$
$x_2=\dfrac{-3+\sqrt{\Delta}}{-2}<0$
Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
Le polynôme est donc positif sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$
Par conséquent la plus petit entier naturel $n$ cherché est $17$.
$\quad$
Avec un algorithme, sans utiliser la réponse de la question 5.a :
$\begin{array}{|l|}
\hline
A\leftarrow 1\\
B\leftarrow \text{e }\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que } B\geq 10^{-50} \\
\hspace{1cm} C\leftarrow B \\
\hspace{1cm} B\leftarrow \dfrac{B^2}{ \text{e }\times A} \\
\hspace{1cm} A\leftarrow C \\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\text{Fin Tant que} \\
\text{Afficher } N+1 \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Avec un algorithme, en utilisant la réponse de la question 5.a :
$\begin{array}{|l|}
\hline
U\leftarrow 1\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que } U\geq 10^{-50} \\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U\leftarrow \text{e}^{N(3-N)/2}\\
\text{Fin Tant que} \\
\text{Afficher } N \\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Spécialité 5 points
Pour tout entier naturel $n$ , on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par \[F_n = 2^{2^n} + 1.\]
Partie A
Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que : < div align="center"> « Tous les nombres de Fermat sont premiers », L'objectif est de tester cette conjecture.
-
- Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$.
- Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
- On considère l'algorithme ci-dessous: $$\begin{array}{ |l|}\hline F \gets 2^{2^5} + 1 \\ N \gets 2 \\ \text{ Tant que } F\%N \ne 0 \\ \hspace{0,5cm} N \gets N + 1 \\ \text{ Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } N \\ \hline \end{array}$$ $F\%N$ désigne le reste de la division euclidienne de $F$ par $N$.
La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641. Que peut-on en déduire ?
Partie B
L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $F_n = \left(F_{n-1} - 1\right)^2 + 1$.
- Pour tout entier naturel $n$ on note : \[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\] On a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n$. Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : \[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\]
- Justifier que, pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n > m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n -qF_m = 2$.
- En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Pour tout entier naturel $n$ , on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par \[F_n = 2^{2^n} + 1.\]
Partie A
Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que : < div align="center"> « Tous les nombres de Fermat sont premiers », L'objectif est de tester cette conjecture.
-
- Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$. $F_0=2^{2^0}+1=3$
- Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ? Ces $4$ nombres sont premiers mais cela ne prouve pas que les suivants le sont également.
$F_1=2^{2^1}+1=5$
$F_2=2^{2^2}+1=17$
$F_3=2^{2^3}+1=257$
$\quad$
$\quad$ - On considère l'algorithme ci-dessous: $$\begin{array}{ |l|}\hline F \gets 2^{2^5} + 1 \\ N \gets 2 \\ \text{ Tant que } F\%N \ne 0 \\ \hspace{0,5cm} N \gets N + 1 \\ \text{ Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } N \\ \hline \end{array}$$ $F\%N$ désigne le reste de la division euclidienne de $F$ par $N$.
La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641. Que peut-on en déduire ? Cela signifie que $F_5$ est divisible par $631$ et donc que $F_5$ n’est pas un nombre premier.
$\quad$
Partie B
L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $F_n = \left(F_{n-1} - 1\right)^2 + 1$. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
- Pour tout entier naturel $n$ on note : \[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\] On a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n$. Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : \[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\] Initialisation : Si $n=1$ alors
- Justifier que, pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n > m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n -qF_m = 2$. Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n>m$ on a :
- En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux. D’après la question précédente le PGCD de $F_n$ et $F_m$ doit diviser $F_n-qF_m$ c’est-à-dire $2$.
$\left(F_{n-1}-1\right)^2+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1=2^{2^{n-1}\times 2}+1=2^{2^n}+1=F_n$
$\quad$
$\displaystyle \prod_{i=0}^0 F_i=F_0=3=5-2=F_1-2$
La propriété est vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ :
$\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $\displaystyle \prod_{i=0}^{n} F_i=F_{n+1}-2$
$\displaystyle \begin{align*}\prod_{i=0}^{n} F_i&=\prod_{i=0}^{n-1} F_i \times F_n \\
&=\left(F_n-2\right)\times F_n \\
&={F_n}^2-2F_n \\
&={F_n}^2-2F_n+1-1 \\
&=\left(F_n-1\right)^2-1 \\
&=F_{n+1}-2
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a
$\displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2$
$\quad$
$\begin{align*} & \displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} F_i=F_n-2 \\
&\iff F_n-\prod_{i=0}^{n-1} F_i= 2 \\
&\iff F_n-F_m\times \prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i= 2 \end{align*}$
Il existe donc un entier naturel $\displaystyle q=\prod_{\begin{array}{l}i=0 \\i\neq m\end{array}}^{n-1} F_i$ tel que $F_n-qF_m=2$
$\quad$
Ainsi ce PGCD vaut $1$ ou $2$.
Or, pour tout entier naturel $n$, on a $2^{2^n}>0$ donc $F_n$ est un nombre impair et n’est alors pas divisible par $2$.
Le PGCD de $F_n$ et $F_m$ vaut donc $1$ et deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.
$\quad$
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