Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$ , on note $F_n$ le $n$-ième nombre de Fermat. Il est défini par \[F_n = 2^{2^n} + 1.\]

Partie A

Pierre de Fermat, leur inventeur, a conjecturé que : < div align="center"> « Tous les nombres de Fermat sont premiers », L'objectif est de tester cette conjecture.

1. 1. Calculer $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$.
   2. Peut-on en déduire que tous les nombres de Fermat sont premiers ?
2. On considère l'algorithme ci-dessous: $$\begin{array}{ |l|}\hline F \gets 2^{2^5} + 1 \\ N \gets 2 \\ \text{ Tant que } F\%N \ne 0 \\ \hspace{0,5cm} N \gets N + 1 \\ \text{ Fin Tant que }\\ \text{ Afficher } N \\ \hline \end{array}$$ $F\%N$ désigne le reste de la division euclidienne de $F$ par $N$.
   La valeur affichée à la fin de l'exécution est 641. Que peut-on en déduire ?

 

Partie B

L'objectif est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $F_n = \left(F_{n-1} - 1\right)^2 + 1$.
2. Pour tout entier naturel $n$ on note : \[\displaystyle\prod_{i=0}^n F_i = F_0 \times F_1 \times F_2 \times \ldots \times F_{n-1} \times F_n.\] On a donc $\displaystyle\prod_{i=0}^{n} F_i = \left(\prod_{i=0}^{n-1} F_i\right) \times F_n$. Montrer par récurrence et en utilisant le résultat de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : \[\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1} F_i = F_n - 2.\]
3. Justifier que, pour tous entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n > m$, il existe un entier naturel $q$ tel que $F_n -qF_m = 2$.
4. En déduire que deux nombres de Fermat sont toujours premiers entre eux.