Baccalauréat S Amérique du Sud --12 novembre 2018 - Correction Exercice 4
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Correction de l'exercice 4 (3 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère les points A, B, C et D distincts d'affixes respectives $z_{\text{A}}$, $z_{\text{B}}$, $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ tels que : \[\left\{ \begin{array}{l c r} z_{\text{A}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{C}} &=& z_{\text{B}} + \phantom{\text{i}}z_{\text{D}}\\ z_{\text{A}} + \text{i} z_{\text{B}}&=& z_{\text{C}} + \text{i} z_{\text{D}} \end{array}\right.\] Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
Les quatre points sont distincts sont les quatre affixes sont deux à deux différentes.
$z_A+z_C=z_B+z_D\iff z_A-z_B=z_D-z_C \iff \vec{BA}=\vec{CD}$.
Le quadrilatère $ABCD$ est donc un parallélogramme.
$\begin{align*} z_A+\text{i} z_B=z_C+\text{i} z_D &\iff z_A-z_C=\text{i}\left(z_D-z_B\right) \\
&\iff \dfrac{z_A-z_C}{z_D-z_B}=\text{i} \end{align*}$
Par conséquent $\left(\vec{BD},\vec{CA}\right)=\dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près et $\dfrac{CA}{BD}=|\text{i}|=1$.
Les diagonales du parallélogramme sont perpendiculaires et de même longueur.
$ABCD$ est donc un carré.
$\quad$
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