Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\] Soit $a$ un réel positif. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$.

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$.
2. Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
   1. En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$.
   2. Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3.
3. Dans cette question, on prend $a = 2,9$.
   1. Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$.
   2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
   3. Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
4. Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   1. À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée.
   2. En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
   3. L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$. Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel. $$\begin{array}{ |l|}\hline P \gets 0 \\ U \ldots\ldots \\ ~\\ \text{ Tant que } \ldots\\ \hspace{0.6cm} P \gets \ldots\ldots \\ \hspace{0.6cm} U \gets \ldots\ldots \\ \text{Fin Tant que }\\ ~\\ \hline \end{array}$$