Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 


On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}.\] Soit $a$ un réel positif. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, suivant différentes valeurs de son premier terme $u_0 = a$.
  1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, pour $a = 2,9$ puis pour $a = 3,1$.
  2. Si $a=2,9$.
    alors $u_0=2,9$ ; $u_1=2,805$ ; $u_2 \approx 2,63$ ; $u_3 \approx 2,33$ ; $u_4 \approx 1,88$ ; $u_9 \approx 1$ ; $u_{20} \approx 1$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans ce cas, décroissante et converge vers $1$.
    $\quad$
    Si $a=3,1$
    alors $u_0=3,1$ ; $u_1=3,205$ ; $u_2 \approx 3,43$ ; $u_3 \approx 3,95$ ; $u_4 \approx 5,37$ et $u_5 \approx 10,53$.
    Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit, dans  ce cas, croissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on suppose que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    1. En remarquant que $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n^2 - u_n + \dfrac{3}{2}$, montrer que $\ell = \dfrac{1}{2}\ell^2 - \ell + \dfrac{3}{2}$.
    2. Si la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \ell$ et  $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$
      $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \iff u_{n+1}=\dfrac{1}{2}{u_n}^2-u_n+\dfrac{3}{2}$
      En prenant la limite de chacun des membres de cette dernière équation on obtient $\ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2}$
      $\quad$
    3. Montrer que les valeurs possibles de $\ell$ sont 1 et 3.
    4. On a :
      $\begin{align*} \ell=\dfrac{1}{2}\ell^2-\ell+\dfrac{3}{2} &\iff 2\ell=\ell^2-2\ell+3 \\
      &\iff \ell^2-4\ell+3=0 \end{align*}$
      Le discriminant est $\Delta = (-4)^2-4\times 3\times 1 = 4>0$
      L’équation possède donc $2$ racines réelles $\ell_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\ell_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=3$.
      Les valeurs possibles de $\ell$ sont donc $1$ et $3$.
      $\quad$
  4. Dans cette question, on prend $a = 2,9$.
    1. Montrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~ + \infty[$.
    2. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=\dfrac{1}{2}>0$.
      De plus l’abscisse du sommet de la parabole représentant cette fonction est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$.
      La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
      Remarque : on pouvait bien entendu, après montré que la fonction était dérivable, étudier le signe de sa dérivée.
      $\quad$
    3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.
    4. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=2,9$ et $u_1=2,805$.
      On a bien : $1 \leq u_1 \leq u_0$.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\leq u_{n+1} \leq u_n$.
      Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}$.
      La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$ par conséquent :
      $1\leq u_{n+1} \leq u_n \iff f(1) \leq f\left(u_{n+1}\right) \leq f\left(u_n\right)$
      soit $1\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\leq u_{n+1} \leq u_n$.
      $\quad$
    5. Montrer que $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
    6. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. Par conséquent elle converge soit vers $1$ soit vers $3$.
      Puisque la suite est décroissante et que $u_0<3$ la seule limite possible est $1$.
      $\quad$.
  5. Dans cette question, on prend $a = 3,1$ et on admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    1. À l'aide des questions précédentes montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas majorée.
    2. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
      Supposons que la suite soit majorée. Elle converge donc soit vers $1$ soit vers $3$.
      Or $u_0>3$. Puisque la suite est croissante elle ne peut pas converger vers l’une de ces $2$ limites.
      L’hypothèse “la suite est majorée” est par conséquent absurde.
      La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas majorée.
    3. En déduire le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
    4. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et non majorée. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
      $\quad$
    5. L'algorithme suivant calcule le plus petit rang $p$ pour lequel $u_p > 10^6$. Recopier et compléter cet algorithme. $P$ est un nombre entier et $U$ est un nombre réel. $$\begin{array}{ |l|}\hline P \gets 0 \\ U \ldots\ldots \\ ~\\ \text{ Tant que } \ldots\\ \hspace{0.6cm} P \gets \ldots\ldots \\ \hspace{0.6cm} U \gets \ldots\ldots \\ \text{Fin Tant que }\\ ~\\ \hline \end{array}$$
    6. $$\begin{array}{ |l|}\hline P \gets 0 \\ U\gets 3,1 \\ ~\\ \text{ Tant que } U\leq 10^6 \\ \hspace{0.6cm} P \gets P+1 \\ \hspace{0.6cm} U \gets \dfrac{1}{2}U^2-U+\dfrac{3}{2} \\ \text{Fin Tant que }\\ ~\\ \hline \end{array}$$
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