Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 - Spécialité

Page 9 sur 10: Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$, $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]

1. Calculer $u_2$ et $u_3$ .
2. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$.
3. On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$.
   1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$.
   2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$.

Partie B

On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$. Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$. Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.

1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$.
2. On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels. $$ \begin{array}{|l|}\hline S\gets 0 \\ ~\\ \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N \\ P \gets 2^{N+1} - 1 \\ U \gets 2^N P \\ ~\\ \text{ Pour } K \text{ variant de } 1 \text{ à } U \\ \hspace{0.6cm}\text{ Si } \frac{U}{K} \text{ est un nombre entier }\\ \hspace{1.1cm} S \gets S + K \\ \hspace{0.6cm} \text{ Fin Si }\\ \text{ Fin Pour }\\ ~\\ \text{ Si } S = 2U \\ \hspace{0.6cm} \text{ Afficher } « \text{ oui } »\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}\text{ Afficher } « \text{ non } »\\ \text{Fin Si }\\ \hline \end{array}$$
   1. À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.
   2. Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche « oui ».
3. Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
   1. Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$.
   2. En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.

Annexe à remettre avec la copie : Affichage de l'algorithme pour les premières valeurs de $N$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline N & P & U & S &\text{ Affichage final }\\ \hline 0 &1 &1 &1 &\text{ non}\\ \hline 1 &3 &6 &12 &\text{ oui }\\ \hline 2 &7 & & &\\ \hline 3 &15 & &360 &\\ \hline 4 &31 & &992 & oui\\ \hline 5 &63 & & 6552 &\text{ non }\\ \hline 6 &127 & 8128 & 16256 &\\ \hline \end{array}$$