Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n + 1$.
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est entier.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
  2. Démontrer que les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement pairs et impairs.
  3. L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier. Affirmation: « Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. »
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2u_n = 3^n - 1$.
    2. Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à 1 modulo 7.
    3. En déduire que $u_{ 2\,022 }$ est divisible par $7$.
    1. Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    2. Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } m \text{ par } 5 &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline \text{Reste de la division euclidienne de } 3m + 1 \text{ par } 5& & & & &\\ \hline \end{array}$$
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, si $u_n$ est congru à 4 modulo 5, alors $u_{n+4}$ est congru à 4 modulo 5.
    4. Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par 5 soit égal à 2 ?

 

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