Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n + 1$.
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est entier.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=3u_n+1 \iff 1\times u_{n+1}-3\times u_n=1$.
    $1$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, $u_n$ et $u_{n+1}$ le sont également.
    $\quad$
  3. Démontrer que les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement pairs et impairs.
  4. Si $u_n$ est pair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a$.
    Ainsi $u_{n+1}=3\times 2a+1= 2\times 3a+1$. $u_{n+1}$ est donc impair.
    Si $u_n$ est impair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a+1$.
    Ainsi $u_{n+1}=3\times (2a+1)+1=6a+3+1=2\times (3a+2)$. $u_{n+1}$ est donc pair.
    Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc alternativement pairs et impairs.
    $\quad$
  5. L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier. Affirmation: « Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. »
  6. On a $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=4$, $u_3=13$, $u_4=40$ et $u_5=121$.
    $5$ est un nombre premier impair et $u_5=121=11^2$ n’est pas premier.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2u_n = 3^n - 1$.
    2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0=0$ et $3^n-1=1-1=0$.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n=3^n-1$.
      Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $2u_{n+1}=3^{n+1}-1$.
      $\begin{align*} 2u_{n+1}&=2\times 3u_n+2 \\
      &=3\times 2u_n+2 \\
      &=3\times \left(3^n-1\right)+2 \\
      &=3^{n+1}-3+2 \\
      &=3^{n+1}-1
      \end{align*}$
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $2u_n=3^n-1$.
      $\quad$
    3. Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à 1 modulo 7.
    4. $\quad$
      $\begin{array}{|c|c|c|}
      \hline
      n&3^n&3^n ~\text{modulo}~7 \\
      \hline
      1&3&3\\
      \hline
      2&9&2\\
      \hline
      3&27&6\\
      \hline
      4&81&4\\
      \hline
      5&243&5\\
      \hline
      6&729&1\\
      \hline
      \end{array}$
      Le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à $1$ modulo $7$ est donc $6$.
      $\quad$
    5. En déduire que $u_{ 2\,022 }$ est divisible par $7$.
    6. On a $2u_{2~022}=3^{2~022}-1=3^{6\times 337}-1=\left(3^6\right)^{337}-1$.
      Par conséquent $2u_{2~022}\equiv 1^{337}-1 ~[7] \equiv 0~[7]$.
      Il existe donc un entier naturel $p$ tel que $2u_n=7q$.
      $2$ et $7$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss $7$ divise donc $u_{2~022}$.
      $\quad$
    1. Calculer le reste de la division euclidienne par 5 de chacun des cinq premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    2. On a $u_0=0 \equiv 0~[5]$
      $u_1=1\equiv 1~[5]$
      $u_2=4 \equiv 4~[5]$
      $u_3=13 \equiv 3~[5]$
      $u_4=40\equiv 0~[5]$
      $u_5=121 \equiv 1~[5]$
      $\quad$
    3. Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } m \text{ par } 5 &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline \text{Reste de la division euclidienne de } 3m + 1 \text{ par } 5& & & & &\\ \hline \end{array}$$
    4. On obtient :
      $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Reste de la division euclidienne de } m \text{ par } 5 &0&1&2&3&4\\ \hline \text{Reste de la division euclidienne de } 3m+1 \text{ par } 5 &1&4&2&0&3\\ \hline \end{array}$$
      $\quad$
    5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, si $u_n$ est congru à 4 modulo 5, alors $u_{n+4}$ est congru à 4 modulo 5.
    6. Si $u_n$ est congru à $4$ modulo $5$ alors $u_{n+1}=3u_n+1$ est congru à $3$ modulo $5$.
      Par conséquent $u_{n+2}=3u_{n+1}+1$ est congru à $0$ modulo $5$.
      Ainsi $u_{n+3}=3u_{n+2}+1$ est congru à $1$ modulo $5$.
      Donc $u_{n+4}=3u_{n+3}+1$ est congru à $4$ modulo $5$.
      $\quad$
    7. Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par 5 soit égal à 2 ?
    8. D’après les questions 5.a. et 5.b. le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ est successivement $0$,$1$,$4$ et $3$.
      Il n’existe donc d’entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ soit égal à $2$.
      $\quad$
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