Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[z_{n+1} = \dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4}z_n.\] On note $A_n$ le point du plan d'affixe $z_n$.

1. 1. Vérifier que : \[\dfrac{3 - \text{i}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}.\]
   2. En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
   3. Représenter graphiquement les points $A_0$ , $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ; on prendra pour unité le centimètre.
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \[z_n = 8 \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{- \text{i}\frac{n\pi}{6}}.\]
   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$. Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, \[\dfrac{z_{k+1} - z_{k}}{z_{k+1}} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}\text{i}.\] En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l'égalité : $A_kA_{k+1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \text{O}A_{k+1}$.
   2. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$,$\:$ $A_1$,$\:$ $A_2$, $\ldots$ , $A_n$.
      On a ainsi : $\ell_n = A_0A_1 + A_1A_2 + \ldots + A_{n-1}A_n$.
      Démontrer que la suite $\left(\ell_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.