Baccalauréat S Polynésie 20 juin 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$».
On note $b_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie B à l'étape $n $».
On note $c_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie C à l'étape $n $».
À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A. Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\left\{\begin{array}{l c r} a_{n+1}&=&\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4} b_n \phantom{+ \frac{2}{3}c_n}\\ b_{n+1}&=&\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2} b_n + \frac{2}{3}c_n\\ c_{n+1}&=&\frac{1}{4}b_n + \frac{1}{4} c_n \end{array}\right.$$
L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A

À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 & n & a_n & b_n & c_n \\ \hline 2 &0 & 1 &0 &0\\ \hline 3 &1 &0,333 &0,667 &0\\ \hline 4 &2 &0,278 &0,556 &0,167\\ \hline 5 &3 &0,231 &0,574 &0,194\\ \hline 6 &4 &0,221 &0,571 &0,208\\ \hline 7 &5 &0,216 &0,572 &0,212\\ \hline 8 &6 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 9 &7 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 10 &8 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 11 &9 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 12 &10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline \end{array}$$

1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
2. Quelle conjecture peut-on émettre ?

 

Partie B

 

1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
   2. Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
   1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
   2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.$$
4. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?