Baccalauréat S Antilles Guyane19 juin 2018

 

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:

  • parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur);
  • 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
  • les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

 

Partie A


Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants:

  • $C$: « l'arbre abattu est un chêne»;
  • $S$: « l'arbre abattu est un sapin»;
  • $E$: « l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire»;
  • $H$: « l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune».
  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
  2. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
  3. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587\;7$.
  4. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin~?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

 

Partie B


Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu= 4 \;000 $ et d'écart-type $\sigma=300$.

  1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre $3 ;400$ et $4\;600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  2. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de $4\;500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

 

Partie C


L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.
Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?

 


Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:

  • parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur);
  • 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
  • les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

 

Partie A


Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants:

  • $C$: « l'arbre abattu est un chêne»;
  • $S$: « l'arbre abattu est un sapin»;
  • $E$: « l'arbre abattu est un arbre d'essence secondaire»;
  • $H$: « l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune».
  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
  2. bac S antilles guyane juin 2018 ex1
  3. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
  4. On veut calculer $p(C\cap H)=0,3\times 0,459=0,137~7$.
    La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est $0,137~7$.
  5. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587\;7$.
  6. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(H)&=p(C\cap H)+p(S\cap H)+p(E\cap H) \\
    &=0,3\times 0,459+0,5\times 0,8 +0,2\times 0,25 \\
    &=0,137~7+0,4+0,05 \\
    &=0,587~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  8. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_H(S)&=\dfrac{p(S\cap H)}{p(H)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,8}{0,587~7} \\
    &\approx 0,681
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est environ égale à $0,681$.
    $\quad$

 

Partie B


Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu= 4 \;000 $ et d'écart-type $\sigma=300$.

  1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre $3 ;400$ et $4\;600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  2. On a $p(3~400 \leqslant X \leqslant 4~600)=p(\mu-2\sigma \leqslant X\leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    ou

    2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

  3. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de $4\;500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  4. $p(X \geqslant 4~500)=0,5-p(4~000\leqslant X \leqslant 4~500) \approx 0,048$
    ou

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

 

Partie C

 

L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.
Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?

On a $n=200$ et $p=0,5$.
Donc $n \geqslant 30$, $np=100 \geqslant 5$ et $n(1-p)=100 \geqslant 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200} &=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\right] \\
&\approx [0,431;0,570]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{106}{200}=0,53 \in I_{200}$.

Ce résultat ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.

$\quad$


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.
Ex2 Cube
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre. Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:

  • $L$ est le point tel que $\vec{FL}=\frac23\vec{FE}$;
  • $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
  • $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
  1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
  2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
    2. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
  3. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
    1. Vérifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
    2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est: \[ 3x+3y+2z-18=0. \]
    3. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s~~~~(s\in\mathbb R)\\ z&=&6 \end{array} \right. \] Calculer les coordonnées du point $M$.
  4. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: \[ V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}. \]
  5. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55$^{o}$ et 60$^{o}$.
    Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.
Ex2 Cube
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre. Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:

  • $L$ est le point tel que $\vec{FL}=\frac23\vec{FE}$;
  • $M$ est le point d'intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
  • $S$ est le point d'intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
  1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
  2. Les plans $(FGH)$ et $(BCD)$ sont parallèles.
    La droite $(LM)$ est l’intersection du plan $(FGH)$ avec le plan $(SLM)$.
    La droite $(BD)$ est l’intersection du plan $(BCD)$ avec le plan $(SLM)$.
    Par conséquent les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
  4. Dans le repère $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ on a :
    $F(6;0;6)$, $E(0;0;6)$.
    Par conséquent $\vec{FE}(-6;0;0)$.
    Donc :
    $$\begin{align*} \vec{FL}=\dfrac{2}{3}\vec{FE} &\iff \begin{cases} x_L-6=\dfrac{2}{3}\times (-6) \\y_L-0=\dfrac{2}{3}\times 0 \\z_L-6=\dfrac{2}{3}\times 0 \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases}x_L-6=-4\\y_L=0\\z_L=6\end{cases}
    \end{align*}$$
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $(2;0;6)$.
    $\quad$
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
    2. On a $B(6;0;0)$ et $\vec{BL}(-4;0;6)$
      Une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ est :
      $$\begin{cases} x=6-4t\\y=0\\z=6t\end{cases}, \quad t \in \mathbb R$$
      $\quad$
    3. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
    4. Le point $S$ appartient à la droite $(AE)$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;0;z_S\right)$.
      De plus le point $S$ appartient à la droite $(BL)$.
      On a donc :
      $$\begin{align*} \begin{cases} 0=6-4t\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=6t\end{cases} &\iff \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=\dfrac{3}{2}\times 6\end{cases}
      \end{align*}$$
      Le point $S$ a donc pour coordonnées $(0;0;9)$.
      $\quad$
  5. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
    1. Vérifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
    2. On a $B(6;0;0)$ et $D(0;6;0)$. Par conséquent $\vec{BD}(-6;6;0)$.
      De plus $\vec{BL}(-4;0;6)$.
      Ainsi $\vec{n}.\vec{BD}=3\times (-6)+3\times 6+2\times 0=0$
      et $\vec{n}.\vec{BL}=3\times (-4)+3\times 0+2\times 6=0$
      Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(BDL)$.
      $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(BDL)$.
      $\quad$
    3. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est: \[ 3x+3y+2z-18=0. \]
    4. Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est ainsi de la forme $$3x+3y+2z+d=0$$
      Le point $B(6;0;0)$ appartient à ce plan.
      Donc $3\times 6+0+0+d=0 \iff d=-18$.
      Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est par conséquent $$3x+3y+2z-18=0$$
      $\quad$
    5. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s~~~~(s\in\mathbb R)\\ z&=&6 \end{array} \right. \] Calculer les coordonnées du point $M$.
    6. Le point $M$ est le point d’intersection de la droite $(EH)$ et du plan $(BDL)$.
      Ses coordonnées sont donc solution du système :
      $\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0\end{cases} &\iff \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\0+3s+12-18=0\end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\3s=6 \end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} s=2\\x=0\\y=2\\z=6\end{cases}
      \end{align*}$
      Le point $M$ a pour coordonnées $(0;2;6)$.
      $\quad$
  6. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: \[ V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}. \]
  7. On a $\vec{EL}(2;0;0)$ donc $EL=2$
    et $\vec{EM}(0;2;0)$ donc $EM=2$
    L’aire du triangle $ELM$ est donc $\mathscr{A}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$ m$^2$.
    De plus $\vec{ES}(0;0;3)$ donc $ES=3$.
    Le volume du tétraèdre $SELM$ est $V=\dfrac{2\times 3}{3}=2$ m$^3$.
    $\quad$
  8. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55$^{o}$ et 60$^{o}$.
    Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?
  9. On a $\vec{LS}(-2;0;3)$ et $\vec{LE}(-2;0;0)$.
    Par conséquent $LS=\sqrt{(-2)^2+0^2+3^2}=\sqrt{13}$ et $LE=2$
    D’une part $\vec{LS}.\vec{LE}=-2\times (-2)+0+0=4$
    D’autre part $\vec{LS}.\vec{LE}=2\sqrt{13}\cos\widehat{SLE}$
    Donc $\cos\widehat{SLE}=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}$
    Ainsi $\widehat{SLE} \approx 56,3$°.
    La contrainte d’angle est respectée.
    $\quad$

Exercice 3 5 points


Fonctions


Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:
logo
Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

 

  1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
  2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
  4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    2. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.

 

Partie B — Aire du logo


On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
  2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
    1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    2. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.
  3. ANNEXE


    Ex3 Annexe

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:
logo
Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

 

  1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
  2. Pour tout réel $x$ on a $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ donc $-1\leqslant -\cos x \leqslant 1$
    et $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$
    Ainsi $-1-1+1 \leqslant -\cos x+\sin x+1 \leqslant 1+1+1 \iff -1\leqslant -\cos x+\sin x+1 \leqslant 3$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$.
    On a alors $-\text{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3\text{e}^{-x}$.
    $\quad$
  3. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{t \to -\infty} \text{e}^t=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}-\text{e}^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 3\text{e}^{-x}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  5. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
  6. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\text{e}^{-x}\left(-\cos x+\sin x+1\right)+\text{e}^{-x}\left(-(-\sin x)+\cos x\right) \\
    &=\left(\cos x-\sin x-1+\sin x+\cos x\right)\text{e}^{-x} \\
    &=\left(2\cos x-1\right)\text{e}^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[-\pi;\pi]$.
      Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\cos x-1$.
      Or, sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ :
      $2\cos x-1=0 \\ \iff \cos x =0,5 \\ \iff \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{3}\\\text{ou}\\x=-\dfrac{\pi}{3}\end{cases}$
      et $2\cos x-1>0 \\ \iff \cos x>0,5 \\ \iff x \in \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
      Ainsi sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$, $f'(x)<0$ sur $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$.
      $\quad$
      Ex3 Trigo
    3. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
    4. La fonction $f$ est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[$ et $\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ et elle est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
      $\quad$

 

Partie B — Aire du logo


On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
  2. Pour tout réel $x$ on a : $f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}\left(\sin x+1\right)$.
    Or $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ donc $0\leqslant \sin x +1 \leqslant 2$.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur$mathbb R$, cela signifie donc que $f(x)-g(x) \geqslant 0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est par conséquent toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$.
  3. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
    1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    2. Ex3 Annexe correction
    3. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.
    4. La fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $ h(x)=f(x)-g(x)$ est positive (question B.1) et continue (somme de fonctions continues sur $\mathbb R$).
      Par conséquent l’aire du domaine $\mathcal{D}$ est :
      $\begin{align*} \displaystyle \mathscr{A}&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \left(f(x)-g(x)\right) \text{d}x \\
      &=H\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\
      &=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\text{e}^{-3\pi/2}-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\text{e}^{\pi/2} \\
      &=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-3\pi/2}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\pi/2} \text{ u.a.}
      \end{align*}$
      Or $1$ u.a. $=2^2=4$ cm$^2$.
      Ainsi $\mathscr{A}\approx 9,60$ cm$^2$.
      $\quad$

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

  • entre le 1$^{er}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
  • entre le 1$^{er}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

  1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
  3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
    2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
  4. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  5. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
  6. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

  • entre le 1$^{er}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
  • entre le 1$^{er}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

  1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
  2. n a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
  4. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une baisse de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  5. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
  6. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
    2. Montrons ce résultat par récurrence.
      Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \geqslant 1~520$.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~520$.
      Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \geqslant 1~520$
      $$\begin{array} {ll}u_n \geqslant 1~520 &\iff 0,95u_n \geqslant 1~444 \\ &\iff 0,95u_n+76 \geqslant 1~520 \\ \ &\iff u_{n+1} \geqslant 1~520 \end{array}$$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\geqslant 1~520$.
      $\quad$
    3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    4. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
      $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
      &=-0,05u_n+76 \\
      &\\\leqslant 0,05\times 1~520+76 \\
      &\\\leqslant 0
      \end{align*}$
      La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
      $\quad$
    5. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    6. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
  7. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \\ \iff u_n=v_n+1~520$.
      $$\begin{array}{ll} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\ &=0,95u_n+76-1~520 \\ &=0,95u_n-1~444 \\ &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\ &=0,95v_n+1~444-1~444 \\ &=0,95v_n \end{array}$$
      La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
      $\quad$
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
    4. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
      $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
      $\quad$
    5. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    6. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
      $\quad$
  8. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
  9. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  10. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
  11. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $$\begin{array} {ll} u_n \leqslant 2~000 & \iff 1~480\times 0,95^n+1~520 \leqslant 2~000 \\ & \iff 1~480\times 0,95^n \leqslant 480 \\ &\\& \iff 0,95^n \leqslant \dfrac{12}{37} \\ & \iff n\ln(0,95) \leqslant \ln \dfrac{12}{37} \\ & \iff n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)} \end{array}$$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \geqslant 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

  • une carte de pêche dite « libre » entre parenthèse le pêcheur mais pas limité en nombre de poissons pêchés);
  • une carte de pêche dite « avec quota »(le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

  • $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
  • $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que:

  • chaque année, 65 % des possesseurs de la carte de pêche libres achète de nouveaux une carte de pêche libre l'année suivante;
  • Chaque année, 45 % des possesseurs de la carte de pêche avec quota acheté une carte de pêche libre l'année suivante ;
  • En 2017, 40 % des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0= 0,4 $ et $q_0= 0,6 $.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
  2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    2. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
  5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

  • une carte de pêche dite « libre » entre parenthèse le pêcheur mais pas limité en nombre de poissons pêchés);
  • une carte de pêche dite « avec quota »(le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poisson).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

  • $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
  • $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que:

  • chaque année, 65 % des possesseurs de la carte de pêche libres achète de nouveaux une carte de pêche libre l'année suivante;
  • Chaque année, 45 % des possesseurs de la carte de pêche avec quota acheté une carte de pêche libre l'année suivante ;
  • En 2017, 40 % des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0= 0,4 $ et $q_0= 0,6 $.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
  2. On appelle $L$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche libre” et $Q$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche avec quota”.
    On obtient donc le graphe probabiliste suivant :

    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n$ et $q_{n+1}=0,55q_n+0,35\ell$.
    Par conséquent $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_n\\ q_n \end{pmatrix}$
    Soit $P_{n+1}=MP_n$.
    $\quad$
  3. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
  4. En 2019, on a $n=2$.
    Donc $P_2=M\times P_1=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$.
    Ainsi $q_2=0,444$.
    $44,4\%$ des pêcheurs achètent une carte avec quota en 2019.
    $\quad$
  5. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    2. On a $TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
      La matrice $Q$ est donc inversible et $Q^{-1}=T$.
      $\quad$
    3. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
    4. On a $D=Q^{-1}MQ \\\iff QDQ^{-1}=M$.
      $\quad$
      Montrons par récurrence sur $n$ que $M^n=QD^nQ^{-1}$.
      Initialisation : Si $n=1$ alors $QD^1Q^{-1}=QDQ^{-1}=M$
      La propriété est vraie au rang $1$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=QD^nQ^{-1}$.
      Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.
      Alors
      $\begin{align*} M^{n+1}&=M\times M^n \\
      &=QDQ^{-1}\times QD^nQ^{-1} \\
      &=QDD^nQ^{-1} \\
      &=QD^{n+1}Q^{-1}
      \end{align*}$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
      $\quad$
  6. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    2. Montrons par récurrence sur $n$ que $P_n=M^nP_0$.
      Initialisation : Si $n=1$ alors $P_1=MP_0$.
      La propriété est vraie ai rang $1$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $P_n=M^nP_0$.
      Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $P_{n+1}=M^{n+1}P_0$.
      $\begin{align*} P_{n+1}&=MP_n \\
      &=M\times M^nP_0 \\
      &=M^{n+1}P_0
      \end{align*}$
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $P_n+M^nP_0$.
      $\quad$
    3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
    4. Ainsi
      $P_{n}=M_n\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$
      Par conséquent
      $\begin{align*} \ell_n&=\dfrac{1}{16}\left[0,4\left(9+7\times 0,2^n\right)+0,6\left(9-9\times 0,2^n\right)\right] \\
      &=\dfrac{1}{16}\left(3,6+2,8\times 0,2^n+5,4-5,4\times 0,2^n\right) \\
      &=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right) \\
      &=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n
      \end{align*}$
      $\quad$
  7. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?
  8. Pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{13}{80}\times 0,2^n>0$
    Donc $\ell_n < \dfrac{9}{16}<0,6$
    La proportion de pêcheur achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais $60\%$.
    $\quad$
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