Baccalauréat S Centres étrangers 11 juin 2018 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)


Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n'enlève aucun point.

    1. Un type d'oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que la durée de vie moyenne de ce type d'oscilloscope est de $8$ ans.
      Affirmation 1 : pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné $3$ ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à $10$ ans, arrondie au centième, est égale à $0,42$.
      On rappelle que si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a pour tout réel $t$ positif : $P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$.
    2. On a $E(D)=\dfrac{1}{\lambda}=8$ donc $\lambda=\dfrac{1}{8}$.

 

      La loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement. Donc :

 

      $\begin{align*} P_{D\geqslant 3}(D\geqslant 10)&=P_{D\geqslant 3}(D\geqslant 7+3) \\ &=P(D \geqslant 7) \\ &=1-P(X\leqslant 7) \\ &=\text{e}^{-7/8} \\ &\approx 0,42 \end{align*}$


L’affirmation 1 est vraie.

    1. En 2016, en France, les forces de l'ordre ont réalisé $9,8$ millions de dépistages d'alcoolémie auprès des automobilistes, et 3,1 % de ces dépistages étaient positifs.
      Source : OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies)
      Dans une région donnée, le 15 juin 2016, une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur $200$ automobilistes.
      Affirmation 2 : en arrondissant au centième, la probabilité que, sur les $200$ dépistages, il y ait eu strictement plus de $5$ dépistages positifs, est égale à $0,59$.
    2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de dépistages positifs.

 

      On effectue $200$ tirages indépendants, aléatoires et identiques.

 

      Chaque tirage possède $2$ issues : “le test est positif” dont la probabilité est $0,031$ et “le test est négatif”.

 

      La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0,031$.

 

      D’après la calculatrice on a :

 

      $P(X> 5) = 1-P(X \leqslant 5) \approx 0,59$


L’affirmation 2 est vraie.

      $\quad$
    1. On considère dans $\mathbb R$ l'équation : \[\ln (6 x - 2) + \ln (2x - 1) = \ln (x).\]
      Affirmation 3 : l'équation admet deux solutions dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.
    2. $\ln(6x-2)$ existe si, et seulement si, $6x-2 > 0 \iff 6x > 2 \iff x > \dfrac{1}{3}$

 

    $\ln(2x-1)$ existe si, et seulement si, $2x-1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{2}$
    $\ln(x)$ existe si, et seulement si, $x>0$.

 

      On ne peut donc résoudre l’équation que sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

 

      Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$,

 

      $\begin{align*} \ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)&\iff \ln \left[(6x-2)(2x-1)\right]=\ln(x) \\ &\iff (6x-2)(2x-1)=x \\ &\iff 12x^2-6x-4x+2=x \\ &\iff 12x^2-11x+2=0 \end{align*}$

 

      Pour résoudre $12x^2-11x+2=0$, on calcule $\Delta=(-11)^2-4\times 12\times 2=25>0$.

 

      Les solutions dans $\mathbb R$ de $12x^2-11x+2=0$ sont donc :

 

      $x_1=\dfrac{11-\sqrt{25}}{24}=\dfrac{1}{4}$ et $x_2=\dfrac{11+\sqrt{25}}{24}=\dfrac{2}{3}$

 

      Or $\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2}{3}>\dfrac{1}{2}$

 

      L’équation $\ln(6x-2)+\ln(2x-1)=\ln(x)$ n’admet qu’une seule solution $\dfrac{2}{3}$
            dans l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.

       

          $\quad$
        1. On considère dans $\mathbb C$ l'équation : \[\left(4z^2 - 20z + 37\right)(2z -7 + 2\text{i}) = 0.\]
          Affirmation 4 : les solutions de l'équation sont les affixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d'affixe $2$.
        2. $\left(4z^2-20z+37\right)\left(2z-7+2\text{i}\right)=0 \iff \begin{cases} 4z^2-20z+37=0\\2z-7+2\text{i}=0 \end{cases}$.

       

          Or $2z-7+2\text{i}=0 \iff 2z=7-2\text{i} \iff z=\dfrac{7-2\text{i}}{2}$

       

          On appelle $A$ le point d’affixe $\dfrac{7-2\text{i}}{2}$.

       

          Ainsi $AP=\left|\dfrac{7-2\text{i}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{3}{2}-\text{i}\right|=\sqrt{3,25}$.

       

          $\quad$

       

          On considère maintenant l’équation $4z^2-20z+37=0$.

       

          $\Delta=(-20)^2-4\times 4\times 37=-192<0$

       

          L’équation possède donc deux solutions complexes :

       

          $z_1=\dfrac{20-\sqrt{192}\text{i}}{8}=\dfrac{5-2\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\overline{z_1}=\dfrac{5+2\text{i}\sqrt{3}}{2}$.

       

          On appelle $B$ le point d’affixe $\dfrac{5-2\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $C$ le point d’affixe $\dfrac{5+2\text{i}\sqrt{3}}{2}$.

       

          Ainsi $BP=\left|\dfrac{5-2\text{i}\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\text{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.

       

          De même $CP=\left|\dfrac{5+2\text{i}\sqrt{3}}{2}-2\right|=\left|\dfrac{1}{2}+\text{i}\sqrt{3}\right|=\sqrt{3,25}$.

       

          Ainsi $AP=BP=CP$.

       

          Les trois points appartiennent au cercle de centre $P$ d’affixe $2$ et de rayon $\sqrt{3,25}$.

       

        $\quad$

       

      Exercice 3
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