Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Correction Exercice 1

Page 2 sur 12: Correction Exercice 1

Correction de l'exercice 1 (3 points)

Commun à tous les candidats

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d'une mutuelle étudiante enregistre un nombre record d'appels. Les appelants sont d'abord mis en attente et entendent une musique d'ambiance et un message préenregistré. Lors de cette première phase, le temps d'attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,02$ s$^{-1}$. Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d'échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoire $Y$, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 96$ s et d'écart-type $\sigma = 26$ s.

1. Quelle est la durée totale moyenne d'un appel au standard téléphonique (temps d'attente et temps d'échange avec le chargé de clientèle)?
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=50$.
Donc en moyenne, le temps d’attente d’un appel est de $50$ s.
La durée totale moyenne d’un appel au standard téléphonique est donc de $96+50=146$ s soit $2$ min et $26$ s.

2. Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
   1. Calculer la probabilité que l'étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.
   On veut calculer :
   $P(X \geq 2) = \text{e}^{-2\times 60\lambda} = \text{e}^{-2,4}$
   $\quad$
   
   2. Calculer la probabilité pour que le temps d'échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes.
   On veut calculer :
   $P(Y\leq 90) = 0,5-P(90 \leq Y \leq 96) \approx 0,409$ ou de façon plus directe :

   2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
3. Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d'une minute d'être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci. Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$ secondes l'attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?
On a :
$\begin{align*} P_{X > 60}(X<60+30)&=1-P_{X>60}(X>60+30) \\
&=1-P(X>30) \quad (*)\\
&=P(X\leq 30)
\end{align*}$
$(*)$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
Le fait de raccrocher puis de rappeler n’augmente pas (mais ne diminue pas non plus) ses chances de limiter à $30$ secondes l’attente supplémentaire.
$\quad$