Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} a_0 &= &0\\ a_1 &= &1\\ a_{n+1} &=& a_n + a_{n-1}\: \text{ pour }\: n \geqslant 1. \end{array}\right.\] On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$. $$\begin{array}{|c c|}\hline 1&A \gets 0\\ 2& B \gets 1\\ 3& \text{Pour } i \text{ allant de 2 à } n :\\ 4& \hspace{0.4cm} C \gets A + B \\ 5& \hspace{0.4cm} A \gets \ldots \\ 6& \hspace{0.4cm} B \gets \ldots \\ 7& \text{Fin Pour}\\ \hline \end{array} $$ On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline a_n &0 & 1 &1 &2 &3 &5 &8 &13 &21 &34 &55\\ \hline \end{array} $$
2. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$. Calculer $A^2$, $A^3$ et $A^4$. Vérifier que $A^5 = \begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[A^n = \begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&a_{n-1}\end{pmatrix}.\]
   1. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p \times A^q$ et en déduire que \[a_{p+q} = a_p \times a_{q+1} + a_{p-1} \times a_q.\]
   2. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
   3. Soit $p$ un entier naturel non nul. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
4. 1. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si $n$ est un entier naturel qui n'est pas premier, alors $a_n$ n'est pas un nombre premier.
   2. On peut calculer $a_{19} = 4181 = 37 \times 113$. Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a. ?