Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

GéométrieCommun à tous les candidats

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant $t$, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ dont l'unité est le mètre.
Le plan défini par $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

1. On admet que, pour tout réel $t \geqslant 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées: \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\]
   1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
   2. Quelle est la vitesse du sous-marin ?
   3. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l'arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
      
2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées $(68~;~135~;~- 68)$ et atteint au bout de trois minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(-202~;~-405~;~ - 248)$ avec une vitesse constante. À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?