Baccalauréat S Pondichéry 4 mai 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Probabilités


Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de 1 kg et de différentes qualités.
Le sucre extra fin est conditionné séparément dans des paquets portant le label « extra fin ».
Les parties A,B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

Partie A


Pour calibrer le sucre en fonction de la taille de ses cristaux, on le fait passer au travers d'une série de trois tamis positionnés les uns au-dessus des autres et posés sur un récipient à fond étanche. Les ouvertures des mailles sont les suivantes :
Ex3
Graphique Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à $0,2$ mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage. Ils seront conditionnés dans des paquets portant le label « sucre extra fin ».

  1. On prélève au hasard un cristal de sucre de l'exploitation U. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X_{\text{ U}}$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu_{\text{ U}} = 0,58$ mm et d'écart type $\sigma_{\text{ U}} = 0,21$ mm.
    1. Calculer les probabilités des évènements suivants : $X_{\text{ U}} < 0,2$ et $0,5 \leqslant X_{\text{ U}} < 0,8$.
    2. On a, à l’aide de la calculatrice :
      $P\left(X_U<0,2\right)=0,5-P\left(0,2<X_U<0,58\right) \approx 0,035$
      $P\left(0,5 \leq X_U<0,8\right) \approx 0,501$
      $\quad$
    3. On fait passer 1800  grammes de sucre provenant de l'exploitation U au travers de la série de tamis. Déduire de la question précédente une estimation de la masse de sucre récupérée dans le récipient à fond étanche et une estimation de la masse de sucre récupérée dans le tamis 2.
    4. Dans le récipient à fond étanche on récupère les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à $0,2$ mm et dans le tamis 2 les cristaux de sucre dont la taille est comprise entre $0,5$ et $0,8$ mm.
      D’après la question précédente on récupère :
      $\bullet$ $0,035\times 1~800=63$ g de sucre dans le récipient à fond étanche;
      $\bullet$ $0,501\times 1~800=901,8$ g de sucre dans le tamis 2.
  2. On prélève au hasard un cristal de sucre de l'exploitation V. La taille de ce cristal, exprimée en millimètre, est modélisée par la variable aléatoire $X_{\text{V}}$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu_{\text{V}} = 0,65$ mm et d'écart type $\sigma_{\text{V}}$ à déterminer. Lors du calibrage d'une grande quantité de cristaux de sucre provenant de l'exploitation V, on constate que 40 % de ces cristaux se retrouvent dans le tamis 2. Quelle est la valeur de l'écart type $\sigma_{\text{V}}$ de la variable aléatoire $X_{\text{V}}$ ?
  3. La variable aléatoire $X=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On sait que :
    $\begin{align*} P\left(0,5 \leq X_V < 0,8\right)=0,4 &\iff P\left(-0,15\leq X_V-0,65< 0,15\right)=0,4 \\
    &\iff P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_V} \leq X < \dfrac{0,15}{\sigma_V}\right) =0,4 \\
    &\iff 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)-1=0,4 \\
    &\iff 2P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=1,4 \\
    &\iff P\left(X<\dfrac{0,15}{\sigma_V}\right)=0,7
    \end{align*}$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx 0,524$
    Donc $\sigma_V \approx 0,286$.

Partie B


Dans cette partie, on admet que 3 % du sucre provenant de l'exploitation U est extra fin et que 5 % du sucre provenant de l'exploitation V est extra fin. On prélève au hasard un paquet de sucre dans la production de l'entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s'intéresse à la provenance de ce paquet. On considère les évènements suivants:
  • $U$ : « Le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation U » ;
  • $V$ : «Le paquet contient du sucre provenant de l'exploitation V » ;
  • $E$ : «Le paquet porte le label "extra fin" ».

  1. Dans cette question, on admet que l'entreprise fabrique 30 % de ses paquets avec du sucre provenant de l'exploitation U et les autres avec du sucre provenant de l'exploitation V, sans mélanger les sucres des deux exploitations.
    1. Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label «extra fin » ?
    2. On a $p(U)=0,3$, $p(V)=0,7$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
      D’après la formule des probabilités totales on a:
      $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
      &=0,3\times 0,03+0,7\times 0,05 \\
      &=0,044
      \end{align*}$
      La probabilité que le paquet prélevé porte le label “extra fin” est $0,044$.
    3. Sachant qu'un paquet porte le label «extra fin », quelle est la probabilité que le sucre qu'il contient provienne de l'exploitation U ?
    4. On veut calculer :
      $\begin{align*} p_E(U)&=\dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} \\
      &=\dfrac{0,3\times 0,03}{0,044} \\
      &=\dfrac{9}{44}
      \end{align*}$
  2. L'entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que parmi les paquets portant le label « extra fin », 30 % d'entre eux contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. Comment doit-elle s'approvisionner auprès des exploitations U et V ?
  3. Soit $x$ un réel appartenant à $[0;1]$.
    On a $p(U)=x$, $p(V)=1-x$, $p_U(E)=0,03$ et $p_V(E)=0,05$.
    D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align*} p(E)&=p(U\cap E)+p(V\cap E) \\
    &=0,03x+0,05(1-x) \\
    &=0,05-0,02x
    \end{align*}$
    On sait que :
    $\begin{align*} p_E(U)=0,3 &\iff \dfrac{p(E\cap U)}{p(E)} =0,3\\
    &\iff \dfrac{0,03x}{0,05-0,02x}=0,3 \\
    &\iff 0,03x=0,015-0,006x \\
    &\iff 0,036x=0,015 \\
    &\iff x=\dfrac{5}{12}
    \end{align*}$
    Il faut donc que que $p(U)=\dfrac{5}{12}$ et $p(V)=\dfrac{7}{12}$
    $\quad$

Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.

Partie C

  1. L'entreprise annonce que 30 % des paquets de sucre portant le label «extra fin» qu'elle conditionne contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. Avant de valider une commande, un acheteur veut vérifier cette proportion annoncée. Il prélève $150$ paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés «extra fin » de l'entreprise. Parmi ces paquets, $30$ contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. A-t-il des raisons de remettre en question l'annonce de l'entreprise ?
  2. On a $n=150$ et $p=0,3$.
    Donc $n=150 \geq 30$, $np=45 \geq 5$ et $n(1-p)=105\geq 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{150}&=\left[0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{150}};0,3+1,96\sqrt{\dfrac{0,3\times 0,7}{150}}\right] \\
    &\approx [0,226;0,374]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{30}{150}=0,2 \notin I_{150}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, il a donc raison de remettre en question l’annonce de l’entreprise.
    $\quad$
  3. L'année suivante, l'entreprise déclare avoir modifié sa production. L'acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l'exploitation U parmi les paquets portant le label «extra fin » . Il prélève 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellisés «extra fin » de l'entreprise. Parmi ces paquets 42 % contiennent du sucre provenant de l'exploitation U. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la nouvelle proportion de paquets labellisés «extra fin » contenant du sucre provenant de l'exploitation U.
  4. On a $n=150$ et $f=0,42$
    Donc $n=150\geq 30$, $nf=63\geq 5$ et $n(1-f)=87\geq 5$.
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $95\%$ est :
    $\begin{align*} J_{150}&=\left[0,42-\dfrac{1}{\sqrt{150}};0,42+\dfrac{1}{\sqrt{150}}\right] \\
    &\approx [0,338;0,502]
    \end{align*}$
Exercice 4
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