Baccalauréat S Pondichéry 4 mai 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

À toute lettre de l'alphabet on associe un nombre entier $x$ compris entre 0 et 25 comme indiqué dans le tableau ci-dessous: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Lettre } &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline x &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline \text{Lettre } &N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline x &13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23 &24 &25\\ \hline \end{array}$$
Le «chiffre de RABIN » est un dispositif de cryptage asymétrique inventé en 1979 par l'informaticien Michael Rabin.
Alice veut communiquer de manière sécurisée en utilisant ce cryptosystème. Elle choisit deux nombres premiers distincts $p$ et $q$. Ce couple de nombres est sa clé privée qu'elle garde secrète. Elle calcule ensuite $n = p \times q$ et elle choisit un nombre entier naturel $B$ tel que $0 \leqslant B \leqslant n -1$. Si Bob veut envoyer un message secret à Alice, il le code lettre par lettre. Le codage d'une lettre représentée par le nombre entier $x$ est le nombre $y$ tel que : \[y \equiv x(x + B)\:\: [n] \:\text{ avec }\: 0 \leqslant y \leqslant n.\] Dans tout l'exercice on prend $p = 3,\: q = 11$ donc $n = p \times q = 33$ et $B = 13$.

Partie A : Cryptage

Bob veut envoyer le mot « NO » à Alice.

1. Montrer que Bob code la lettre «N » avec le nombre 8.
2. Déterminer le nombre qui code la lettre «O ».

Partie B : Décryptage

Alice a reçu un message crypté qui commence par le nombre 3. Pour décoder ce premier nombre, elle doit déterminer le nombre entier $x$ tel que : \[x(x + 13) \equiv 3 \:\: [33]\: \text{ avec }\: 0 \leqslant x < 26.\]

1. Montrer que $x(x + 13) \equiv 3\:\: [33]$ équivaut à $(x + 23)^2 \equiv 4\:\: [33]$.
2. 1. Montrer que si $(x + 23)^2 \equiv 4\:\: [33]$ alors le système d'équations $\left\{\begin{array}{l c l} (x + 23)^2 &\equiv &4 \:\: [3]\\ (x + 23)^2 &\equiv &4 \:\: [11] \end{array}\right.$ est vérifié.
   2. Réciproquement, montrer que si $\left\{\begin{array}{l c l} (x + 23)^2 &\equiv &4\:\: [3]\\ (x + 23)^2 &\equiv &4 \:\: [11] \end{array}\right.$ alors $(x + 23)^2 \equiv 4\:\: [33]$.
   3. En déduire que $x(x + 13) \equiv 3\:\: [33] \iff \left\{\begin{array}{l c l} (x + 23)^2 &\equiv&1 \:\: [3]\\ (x + 23)^2 &\equiv& 4 \:\: [11] \end{array}\right.$
3. 1. Déterminer les nombres entiers naturels $a$ tels que $0 \leqslant a < 3$ et $a^2 \equiv 1 \:\: [3]$.
   2. Déterminer les nombres entiers naturels $b$ tels que $0 \leqslant b < 11$ et $b^2 \equiv 4\:\: [11]$.
4. 1. En déduire que $x(x + 13) \equiv 3 \quad[33]$ équivaut aux quatre systèmes suivants : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &\equiv&2\quad [3]\\ x&\equiv &8\quad[11] \end{array}\right. \: \text{ ou } \left\{\begin{array}{l c l} x &\equiv& 0\quad[3]\\ x &\equiv& 1 \quad[11] \end{array}\right.\: \text{ ou } \left\{\begin{array}{l c l} x &\equiv& 2\quad[3]\\ x &\equiv&1 \quad[11] \end{array}\right.\: \text{ ou } \left\{\begin{array}{l c l} x &\equiv& 0\quad [3]\\ x &\equiv& 8 \quad [11] \end{array}\right.\]
   2. On admet que chacun de ces systèmes admet une unique solution entière $x$ telle que $0 \leqslant x < 33$. Déterminer, sans justification, chacune de ces solutions.
5. Compléter l'algorithme en Annexe pour qu'il affiche les quatre solutions trouvées dans la question précédente.
6. Alice peut-elle connaître la première lettre du message envoyé par Bob ? Le «chiffre de RABIN » est-il utilisable pour décoder un message lettre par lettre ?
   Annexe