Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrigé

Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

a) Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ?

La cible soit atteinte signifie ici , avec nos notations $X\geq 1$

On cherche ici $n$ tel que $P(X\geq 1) \geq 0,95$

Déjà en utilisant l'événement contraire, on a $P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$$\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{2} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 \end{array}$$

Comme $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} \approx 4,32$ il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 5 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 .

b) Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible.

Cette fois-ci $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès suit la loi binômiale de paramètre $n$ et $p=\dfrac{1}{3}$.$X$ prend les valeurs entières $k$ où $0\leq k\leq n$ et $P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-k}$. En particulier $P(X=0)= \binom{n}{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-0}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.

On cherche ici $n$ tel que $P(X\geq 1) \geq 0,95$

Déjà en utilisant l'événement contraire, on a $P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$

$$\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq 0,95&\\ &\iff -\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq -0,05& \\ & \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\leq 0,05&\\ &\iff \ln (\left(\dfrac{2}{3}\right)^n)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur} ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}& \text{ car ayant } 0<\dfrac{1}{3}<1 \text { on déduit} \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<\ln (1) \\ && \text{ soit } \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<0\\ \end{array}$$

Comme $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}\approx 7,39$ il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 8 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 .

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

Sur une TI 83 :

2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

On cherche ici $n$ tel que $P(X\geq 1) \geq 0,95$

Déjà en utilisant l'événement contraire, on a $P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n$

$$\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{6}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{6} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{6}\right) < 0 \end{array}$$

Comme $\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} \approx 16,43$ il faut donc dans ces conditions lancer le dé au moins 17 fois pour que l'on obtienne le 6 au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 .

On lance 2 dés puis on totalise les points marqués. Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d’avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 8 ?

Considèrons l'univers $\Omega$ des couples $(a,b)$ où $a \in[0;6]$ et $b \in [0;6]$.

$Card (\Omega)=6\times 6=36$.

Déterminons la loi de probabilité de $S$: la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros.

D'après ce tableau , l'événement $S\geq8$ est réalisé (5+4+3+2+1 ) soit 15 fois.

Donc $P(S\geq8)=\dfrac{Card(S\geq8)}{(Card(\Omega)}= \dfrac{15}{36}=\dfrac{3\times 5}{3\times 12}=\dfrac{5}{12}$.

On considère un lancer de 2 dés , deux issues sont possibles:

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

Avec nos notations, l'événement :"On obtient 10 fois une somme supérieure ou égale à 8" s'écrit $X=10$.

2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$