$2z^2 – 6z + 5=0$ $\quad$ On calcule le discriminant : $\Delta = (-6)^2 – 4 \times 2 \times 5 = -4 <0$ L’équation possède donc deux racines complexes : $z_1 = \dfrac{6 – \ic\sqrt{4}}{4} = \dfrac{3 – \ic}{2}$ et $z_2 = \overline{z_1} = \dfrac{3 + \ic}{2}$ $\quad$
$z^2+z+1=0$ $\quad$ On calcule le discriminant : $\Delta = 1^2 – 4 = -3 <0$ L’équation possède donc deux racines complexes : $z_1 = \dfrac{-1 – \ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \overline{z_1} = \dfrac{-1 + \ic\sqrt{3}}{2}$ $\quad$
$z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0$ $\quad$ Attention, il ne s’agit pas d’une équation du second degré « classique ». On doit donc passer par la forme algébrique de $z = x + \ic y$. On obtient ainsi : $$\begin{array}{ll} z^2 + 2\overline{z} + 1 = 0 & \Leftrightarrow (x + \ic y)^2 + 2(x – \ic y) + 1 = 0\\ & \Leftrightarrow x^2 – y^2 + 2\ic xy + 2x – 2\ic y + 1 = 0\\ & \Leftrightarrow x^2 – y^2 + 2x + 1 + \ic(2xy – 2y) = 0 \end{array}$$ On doit donc résoudre le système : $$\begin{array}{ll} \begin{cases} x^2 – y^2 + 2x + 1 = 0 \\\\ 2xy – 2y = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 1)^2 – y^2 = 0\\\\2y(x – 1) = 0 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 1)^2 – y^2 = 0 \\\\y = 0 \text( ou ) x = 1 \end{cases} \end{array}$$ Si $y = 0$ alors en remplaçant dans la première équation, on trouve $(x + 1)^2 =0$ soit $x = -1$. Si $x = 1$ alors en remplaçant dans la première équation, on trouve $ 4 -y ^2 = 0$ soit $y = 2$ ou $y= -2$. $\quad$ Les solutions de l’équation sont donc : $-1, 1 + 2\ic$ et $1 – 2\ic$.
On veut que $Z$ soit un nombre réel. Il faut donc que sa partie imaginaire soit nulle. Cela signifie donc que : $\dfrac{(y + 2)(x – 1) – xy}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$ $ \Leftrightarrow xy – y + 2x – 2 – xy = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$ $ \Leftrightarrow 2x – y – 2 = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$ L’ensemble des points tel que $Z$ soit un nombre réel est donc la droite d’équation $2x – y – 2 = 0$ privée du point de coordonnées $(1;0)$. $\quad$
On veut que $Z$ soit un imaginaire pur. Il faut donc que sa partie réelle soit nulle. Cela signifie donc que : $\dfrac{x(x – 1) + y(y + 2)}{(x – 1)^2 + y^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x^2 – x + y^2 + 2y = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$ $ \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4} + (y + 1)^2 – 1 = 0$ et $(x;y) \ne (1;0)$ $ \Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \dfrac{5}{4}$ et $(x;y) \ne (1;0)$ L’ensemble des points tel que $Z$ soit un imaginaire pur est donc le cercle de centre $\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ privé du point de coordonnées $(1;0)$.
On a donc $AB = |3| = 3$ $\quad$ $AC = \left|\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2}\ic \right| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ $\quad$ $BC = \left|-\dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2}\ic \right| = \sqrt{\dfrac{25}{4} + \dfrac{9}{4}}$ $=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$ $\quad$ Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$. Or $AB^2 + AC^2 = 9 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{23}{2}$ et $BC^2 = \dfrac{17}{2}$. Par conséquent $AB^2+AC^2 \ne BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.
$|z – 3| = |z -1 + \ic| \Leftrightarrow |z – 3| = |z – (1 – \ic)|$ On appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ le point d’affixe $3$ et $B$ le point d’affixe $1 -\ic$. Par conséquent $|z – 3| = |z – (1 – \ic)| \Leftrightarrow AM = BM$. L’ensemble des points cherché est donc la médiatrice de $[AB]$. $\quad$
$|z +2 – \ic| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |z – (-2 + \ic)| = \sqrt{5}$ On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $C$ le point d’affixe $-2 + \ic$. Par conséquent $|z – (-2 + \ic)| = \sqrt{5} \Leftrightarrow CM = \sqrt{5}$. L’ensemble des points cherché est donc le cercle de centre $C$ et de rayon $\sqrt{5}$. $\quad$
$|z + 3 – \ic| \le 2 \Leftrightarrow |z – (-3 +\ic)| \le 2$. On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $D$ le point d’affixe $-3 + \ic$. Par conséquent $|z – (-3 +\ic)| \le 2 \Leftrightarrow DM \le 2$. L’ensemble des points cherché est donc le disque de centre $D$ et de rayon $2$, le cercle étant inclus (il s’agit, autrement dit, du disque fermé).
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct \Oij. On note $A$ le point d’affixe $\ic$. \`A tout point $M$ du plan, distinct de $A$, d’affixe $z$, on associe le point $M’$ d’affixe $z’ = \dfrac{\ic z}{z – \ic}$.
a. Déterminer les points $M$ tels que $M = M’$. $\quad$ b. Déterminer l’affixe du point $B’$ associé au point $B$ d’affixe $1$. $\quad$ c. Déterminer l’affixe du point $C$ tel que l’affixe de son image $C’$ soit $2$.
Étant donné un nombre complexe $z$, distinct de $\ic$, on pose $z = x + \ic y$ et $z’ = x’ + \ic y’$ le nombre nombre complexe associé, avec $x,x’,y,y’$ réels. a. Déterminer $x’$ et $y’$ en fonction de $x$ et $y$. $\quad$ b. Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$, distincts de $A$, pour lesquels $z’$ est réel. $\quad$ c. Placer $A, B,B’,C,C’$ et représenter $\Gamma$ sur une figure (unité graphique $4$ cm). $\quad$
Soit $z$ un nombre complexe différent de $\ic$. a. Montrer que l’on a $z’ – \ic = \dfrac{-1}{z – \ic}$. $\quad$ b. On suppose que $M$, d’affixe $z$, appartient au cercle $\gamma$ de centre $A$ et de rayon $1$. Montrer que $M’$ appartient à $\gamma$. $\quad$