En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI (Quotient Intellectuel) des adultes grâce à deux échelles permettant de mesurer les compétences verbales et les compétences non verbales.
On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenu par un échantillon représentatif de la population d'un âge donné, dont les performances suivent une loi normale ayant pour moyenne 100 et pour écart-type 15.
- Quel est le pourcentage de personnes dont le QI est inférieur à 80?
On cherche $P(X<80)$ 2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$
$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
ou $T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-100}{15}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$ $$\begin{array}{cc} P(X < 80 )&= P(T<(80-100)/15)\\ &= P(T<-1.33)\\ &= P(T>1.33)\\ &= 1- \pi (1.33)\\ &= 1-0.9082\\ &= 0.0912 \end{array}$$ 9.1 % de cette population a moins de 80 de QI
- Quelle chance a-t-on d'obtenir un QI compris entre 100 et 110 ?
On calcule $P(100\leq X\leq 110)$ 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$
$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$
24.75 % de la population a un QI compris entre 100 et 110
- un QI compris entre 90 et 100 ?
On cherche $ P(90 < X < 100 )$
Inutile de recalculer puisque nous nous trouvons dans une situation de loi normale donc la courbe de la densité a pour propriété d'être symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu=100$.
De plus, il y a le même écart entre la moyenne (100) et 110 ou 90.
24.75 % de la population a un QI compris entre 90 et 100
- un QI compris entre 105 et 110 ?
On cherche $P(105 < X < 110)$ 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$
$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$
11.69 % de la population a un QI compris entre 105 et 110
- Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieur de la distribution ?
Ceci revient à trouver $x$ tel que $P(X< x)= 0.05$
On sait que
$T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-100}{15}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$ $$\begin{array}{rl} P(X < x)=0.05 &\iff P\left(\dfrac{X-100}{15}\right)< \dfrac{x-100}{15} =0.05 \\ &\iff P\left(T< \dfrac{x-100}{15}\right)=0.05\\ & \iff \pi\left( \dfrac{x-100}{15}\right)=0.05\\ & \iff \dfrac{x-100}{15} =\pi^{ -1}\left(0.05\right)\\ &\iff x-100 = 15\pi^{ -1}\left(0.05\right)\\ &\iff x = 100 + 15\pi^{ -1}\left(0.05\right)\\ & \iff x\approx 0.7533 \end{array}$$ 2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$
$$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
69 < 75.33 donc un QI de 69 signifie que l'on appartient au 5% inférieur de cette population.
- En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus ?
Ceci revient à trouver $x$ tel que $P(X < x)=\dfrac{1}{3} $. On sait que $T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-100}{15}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$ $$\begin{array}{rl} P(X < x)=\dfrac{1}{3} &\iff P\left(\dfrac{X-100}{15}< \dfrac{x-100}{15}\right) =\dfrac{1}{3} \\ &\iff P\left(T< \dfrac{x-100}{15}\right)=\dfrac{1}{3}\\ & \iff \pi\left( \dfrac{x-100}{15}\right)=\dfrac{1}{3}\\ & \iff \dfrac{x-100}{15} =\pi^{ -1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\\ &\iff x-100 = 15\pi^{ -1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\\ &\iff x = 100 + 15\pi^{ -1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\\ & \iff x\approx 93.54 \end{array}$$ 2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$
$$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
Le tiers inférieur de cette population a un QI maximum de 93
- Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants ?
On cherche $x$ tel que $P(X > x ) = 0.05$ On sait que $T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-100}{15}$ suit $\mathcal{N}(0,1)$ $$\begin{array}{rl} P(X > x)=0.05& \iff 1- P(X\leq x )=0.05\\ & \iff P(X\leq x )=0.95\\ &\iff P\left(\dfrac{X-100}{15}\right)< \dfrac{x-100}{15} =0.95 \\ &\iff P\left(T< \dfrac{x-100}{15}\right)=0.95\\ & \iff \pi\left( \dfrac{x-100}{15}\right)=0.95\\ & \iff \dfrac{x-100}{15} =\pi^{ -1}\left(0.95\right)\\ &\iff x-100 = 15\pi^{ -1}\left(0.95\right)\\ &\iff x = 100 + 15\pi^{ -1}\left(0.95\right)\\ & \iff x\approx 124.67 \end{array}$$ 2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
Avec une calculatrice de type TI
$$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$
$$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
le QI minimum des 5% supérieur de cette population est de 124
