Rédigé par Luc Giraud le 23 juillet 2019. Publié dans Exercices TS.

Exercices sur les suites avec corrigé

Quelques exercices pour s'entraîner…

Exercice 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=u_n+2n+3\quad,\qquad \forall n\in\N \end{array} \right. \]

Etudier la monotonie de $\left(u_n\right)$.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n^2$.
2. Déterminer alors la limite de $\left(u_n\right)$.
Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer la propriété conjecturée.

Indication

Corrigé

Exercice 2

Enoncé

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fraction irréductible.
Conjecturer la formule qui donne $u_n$ puis la montrer par récurrence.

Indication

Corrigé

Exercice 3

Enoncé

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par : \[ f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.\]

Déterminer les variations de $f$ sur $[0;2]$.
Montrer alors l'implication suivante : \[x\in [1;2] \Rightarrow f(x)\in [1;2].\]
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \] Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n[1;2]$ et que $u_n\leqslant u_{n+1}$.
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
Calculer alors sa limite.

Indication

Corrigé

On a : \[ f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0. \] Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;2]$.
On en déduit alors : \[ 1 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow f(1)\leqslant f(x) \leqslant f(2)\] Or, $f(1)=\dfrac{3}{2}>1$ et $f(2)=\dfrac{5}{3}<2$. Ainsi, \[x\in [1;2] \Rightarrow f(x)\in [1;2].\]
Soit $P(n)$ la propriété : $u_n[1;2]$. Démontrons qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$ par récurrence.
- Initialisation.
  $u_0=1\in [1;2]$.
- Hérédité.
  Supposons que $P(k)$ soit vraie, où $k$ est un entier naturel. Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi.
  D'après la question précédente, on a : \[ u_k[1;2] \Rightarrow f\left(u_k\right)[1;2].\] Or, $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$ donc $P(k+1)$ est vraie.
  L'hérédité est alors vérifiée.
- Conclusion.
  On vient de montrer que $P(0)$ est vraie et que pour un certain entier naturel $k$, $P(k)~\Rightarrow~P(k~+~1)$.
  Ainsi, d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vrai pour tout entier naturel $n$.
De plus, $f$ est croissante sur $[1;2]$ donc $f\left(u_n\right)>u_n$, c'est-à-dire : $u_{n+1}>u_n$.
De la question précédente, on peut conclure que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et bornée, donc majorée.
Or, toute suite croissante et majorée converge.
Donc $\left(u_n\right)$ est convergente.
Posons alors $\ell=\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$. Nous savons que $u_n\in[1;2]$ pour tout entier naturel $n$, donc $\ell[1;2]$ On a alors : \begin{align*} u_{n+1}=f\left(u_n\right) & \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1} = \lim\limits_{n\to+\infty} f\left(u_n\right)\\ & \Leftrightarrow \ell = f(\ell)\quad\text{car }f\text{ est continue}\\ &\Leftrightarrow \ell = \frac{2\ell+1}{\ell+1}\\ & \Leftrightarrow \ell^2+\ell=2\ell+1\\ &\Leftrightarrow\ell^2-\ell-1=0. \end{align*} Le discriminant du polynôme $\ell^2-\ell-1$ est $\Delta=5$ donc il possède deux racines :
$\ell_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ et $\ell_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[1;2]$. Ainsi, $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Exercice 4

Enoncé

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]

Montrer que si $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre $\ell$, alors $\ell$ est racine du polynôme : \[ P(x)=x^2+x-6. \]
Déterminer les racines de $P$. On les notera $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha > \beta$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$.
Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. On précisera alors son premier terme et sa raison.
En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

Indication

Corrigé

Exercice 5

Enoncé

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=3\\ u_{n+1}=\dfrac{4u_n-1}{4u_n}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \] et la suite $\left(v_n\right)$définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ v_n=\frac{1}{u_n-\tfrac{1}{2}}.\]

Montrer que $\left(v_n\right)$est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.

Indication

Corrigé

Exercice 6

Enoncé

On définit la suite $\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2n-1 \end{array} \right. \]

Calculer les 10 premiers termes de cette suite à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.
Que peut-on conjecturer quant à la nature de $\left(u_n\right)$?
On pose $v_n=u_n-4n+10$.
1. Monter que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique que l'on caractérisera.
2. En déduire l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$.
3. On pose : \[ S_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots+u_n.\] Donner l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.

Indication

Corrigé

Exercice 7

Etude générale des suites de la forme $u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)$

Enoncé

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0\in\R\\ u_{n+1}=\lambda u_n+\text{P}(n)\quad,\qquad \forall n\in\N \end{array} \right. \] où P est un polynôme et où $\lambda\in\R*\setminus\{1\}$. On pose alors la suite $\left(v_n\right)$ définie par : \[ v_n=u_n+\text{Q}(n), \] où Q est un polynôme.

Montrer l'équivalence suivante : \[ \left(v_n\right) \text{ est une suite géométrique} \Leftrightarrow \forall n\in\N,\ \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1). \] On suppose maintenant que $\text{P}(n)=an+b$, $a$ et $b$ étant deux réels non nuls.
Trouver, en fonction de $\lambda$, $a$ et $b$, l'expression du polynôme Q.
En déduire, en fonction de $\lambda$, $u_0$, $a$, $b$ et $n$, une expression de $v_n$, puis de $u_n$.
Application : déterminer l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n-3n+7$.
Vérifier la formule trouvée pour les premiers termes de $\left(u_n\right)$.

Indication

Corrigé

$\begin{aligned}[t] v_{n+1} & = u_{n+1}+\text{Q}(n+1)\\ & = \lambda u_n + \text{P}(n) + \text{Q}(n+1)\\ & = \lambda\left(u_n+\dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)\right). \end{aligned}$
Ainsi,
$\begin{aligned}[t] \left(v_n\right)\text{ est une suite géométrique}& \Leftrightarrow u_n+\dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)=v_n\\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\lambda}\text{P}(n)+\dfrac{1}{\lambda}\text{Q}(n+1)=\text{Q}(n)\\ & \Leftrightarrow \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1). \end{aligned}$
Posons $\text{Q}(n)=\alpha n+\beta$.
D'après la question précédente, pour tout entier nature $n$, \begin{align*} & \text{P}(n)=\lambda\text{Q}(n)-\text{Q}(n+1)\\ \Leftrightarrow\ & an+b = \lambda\alpha n+\lambda\beta -\alpha n -\alpha-\beta\\ \Leftrightarrow\ & (a+\alpha-\lambda\alpha)n+b+\alpha+\beta-\lambda\beta=0\\ \Leftrightarrow\ & \left\lbrace\begin{array}{l} a+\alpha(1-\lambda)=0\\ b+\alpha+\beta(1-\lambda)=0 \end{array} \right. \end{align*} De la 1ière équation, on déduit : \[ \alpha=\dfrac{a}{\lambda-1} \] et de la 2ième équation, on tire : \[ \beta=\dfrac{1}{\lambda-1}\left(b+\dfrac{a}{\lambda-1} \right). \] Ainsi, \[ \text{Q}(n)=\dfrac{a}{\lambda-1}n+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}. \]
Nous savons que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\lambda$. Ainsi, $v_n=v_0\lambda^n$ pour tout entier naturel $n$.
Or, $v_0=u_0+Q(0)=u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}$, donc : \[ \forall n\in\N,\ v_n=\left(u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}\right)\lambda^n. \] De plus, $v_n=u_n+\text{Q}(n)$, donc $u_n=v_n-\text{Q}(n)$. Ainsi, \[ \forall n\in\N,\ u_n=\left(u_0+\dfrac{b}{\lambda-1}+\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}\right)\lambda^n-\dfrac{a}{\lambda-1}n-\dfrac{b}{\lambda-1}-\dfrac{a}{(\lambda-1)^2}. \]
Application : $u_{n+1}=2u_n-3n+7$ donc $\lambda=2$, $a=-3$ et $b=7$. D'après la question précédente, on a : \[ \forall n\in\N,\ u_n=\left(5+\dfrac{7}{2-1}+\dfrac{-3}{(2-1)^2}\right)\times2^n-\dfrac{-3}{2-1}n-\dfrac{7}{2-1}-\dfrac{-3}{(2-1)^2} \] soit : \[ \forall n\in\N,\ u_n=9\times2^n+3n-4. \] Vérifions sur les premiers termes : $$\begin{array}{|c|l|l|} n & \text{Avec la formule de récurrence }&\text{ Avec la formule trouvée}\\ \hline 0 & u_0=5\text{ par définition }& u_0=9\times2^0+3\times0-4=9-4=5 \\ \hline 1 & u_1=2u_0-3\times0+7=10+7=17 & u_1=9\times2^1+3\times1-4=18+3-4=17 \\ \hline 2 & u_2=2u_1-3\times1+7=34-3+7=38 & u_2=9\times2^2+3\times2-4=36+6-4=38 \\ \hline \end{array}$$

Exercice 8

Enoncé

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} u_0=1\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{2}{3}\quad,\qquad\forall n\in\N \end{array} \right. \]

Déterminer le réel $\lambda$ tel que la suite géométrique $\left(v_n\right)$définie par :\[\forall n\in\N,\: v_n=u_n+\lambda,\ \lambda\in\R \] soit géométrique.
Calculer alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.

Indication

Corrigé

Exercice 9

Enoncé

Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n=\dfrac{n+\cos(n)}{n^2}$.

Indication

Corrigé

Exercice 10

Enoncé

Soient deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que : \[ u_0=v_0=\dfrac{1}{2}\qquad;\qquad\forall n\in\N,\ \left\lbrace\begin{array}{l} u_{n+1}=0,6u_n+0,3v_n\\ v_{n+1}=0,4u_n+0,7v_n \end{array} \right.\] On pose alors pour tout entier naturel $n$ : \[ \left\lbrace \begin{array}{l} a_n=u_n+v_n\\ b_n=4u_n-3v_n \end{array} \right. \]

Montrer que $\left(a_n\right)$ est constante.
Montrer que $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
Démontrer que $\left(u_n\right)$ converge et donner sa limite.

Indication

Corrigé

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