Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Cours en TS.

Raisonnement par récurrence

Théorème : (principe du raisonnement par récurrence)

Théorème En langage mathématique
Si :
  • $n_0 \in \mathbb{N}$ :$\mathcal{P}(n_0)$ (initialisation)
  • $\forall p\geq n_0$:$\mathcal{P}(p)\Rightarrow\mathcal{P}(p+1)$ (hérédité)

Alors :
$\forall n\geq n_0,~ \mathcal{P}(n)$

En langue française
Si :
  • La propriété est vraie à patir d'un certain rang $n_0 $ (initialisation)
  • Pour tout rang $ p$ plus grand que $ n_0$, la propriété au rang $p$ entraîne la propriété au rang $p+1$. (hérédité)

Alors :
La propriété est vraie pour tout rang $n$ plus grand que $n_0$.

Exercices

  Exemple 1: somme des entiers impairs

Exercice 1 :  On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq1$ par :$$u_n=\sum_{k=1}^n (2k-1)$$
Démontrer que $u_n=n^2$.

  Exemple 2: somme des carrés

Exercice 2 : Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Exemple 3: somme des cubes

Exercice 3 :Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\dfrac{n^2(n+1)^2 }{4}.$$

Exemple 4 : inégalité de Bernoulli

Exercice 4 : Démontrer que :$$\forall x \in ]-1;+\infty[, \forall n \in \mathbb{N}, (1+x)^n\geq 1+nx .$$

Exemple 5: Une somme télescopique

Exercice 5 : Démontrer que :$$ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{n}{n+1}.$$

Exemple 6: Une dérivée nième

Exercice 6 :Démontrer que :$$ \forall n\in \mathbb{N}, \cos^{(n)}(x)=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2}) \text{ et } \sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2}).$$

Exemple 7: Un produit remarquable

Exercice 7 :Démontrer que :$$ \forall x\in \mathbb{R},\forall n\in \mathbb{N} ~ x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+...+a^{n-1}).$$

Exemple 8: Arithmétique

Exercice 8 : Démontrer que :$$ \ \forall n\in \mathbb{N} ~ 3^{n+6}-3^n \text{ est divisible par } 7.$$

 


 

Les suites arithmétiques
Définition : On passe de chaque terme au suivant en ajoutant la même quantité $r$ (raison) :$$\forall n\in \mathbb{N} : u_{n+1}=u_n+r$$

Calcul du terme général

Théorème :Expression d'un terme quelconque $u_n$ en fonction d'un précédent $u_p$:Le nième terme s'obtient à partir du pième en ajoutant $n - p$ fois la raison $r : $ $$u_n = u_p + (n - p)r$$
Et en particulier :$$u_n = u_0 + nr = u_1 + (n - 1)r$$

Nombre de termes d'une somme

Propriété :  Dans la somme $u_p + ... + u_n$, il y a $N = n - p + 1$ termes

Calcul de sommes

Théorème : Somme $S$ de $N$ termes successifs :
$$S = \dfrac{N(P+D)}{ 2 }$$ $$N =\text{ nombre de termes de la somme} $$ $$P = \text{premier terme de la somme }; $$ $$D =\text{ dernier terme de la somme}$$

Par exemple : si $(u_n)$ est une suite arithmétique: $\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$

Exercices

Exemple 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. On sait que $u_{11} = 121$ et $u_{15} = 165.$
Calculer $r, u_0, u_{100}$ puis $S = u_0 + u_1 + ... + u_{100}$.

Exemple 2

  Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 5n - 4$. Démontrer que $(u_n)$ est arithmétique et calculer $S = u_{100 }+ ... + u_{200}$.

Exemple 3

somme des entiers pairs : Calculer $S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$.

Exemple 4

On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq1$ par :$$u_n=\sum_{k=1}^n (2k-1)$$

Démontrer que $u_n=n^2$.

Les suites géométriques

Définition:  On passe de chaque terme au suivant en multipliant par la même quantité $q$ (raison) :
$$\forall n\in \mathbb{N} :u_{n+1} = q u_n$$

Calcul du terme général :

 

Théorème :Le nième terme s'obtient à partir du pième en multipliant $n - p$ fois par la raison $q$ : $$u_n = q^{n- p} u_p$$
Et en particulier : $u_n = q^n u_0 = q^{n-1} u_1$

 

Calcul de sommes

Théorème : Somme $S$ de $N$ termes successifs si $q\neq1$ sinon $S=NP$:$$S = \dfrac{(1-q^{N})}{ 1-q}P$$ $$N =\text{ nombre de termes de la somme} $$ $$P = \text{premier terme de la somme }; $$ $$q =\text{ raison}$$

Par exemple : si $(u_n)$ est une suite géométrique: $$S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k= \dfrac{(1-q^{n+1})}{ 1-q}u_0$$

Exercices

Exemple 1

Soit $(u_n)$ une suite géométrique. On sait que $u_8 = \dfrac{1 }{9}$ et $u_1 = 243$.
Calculer $q, u_0, u_{100}$ puis $S = u_0 + u_1 + ... + u_{100}.$

Exemple 2

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 5\times 4^n$.
Démontrer que $(u_n)$ est géométrique et calculer $S = u_{100 }+ ... + u_{200}$.

Exemple 3:

Calculer $ S = 1 + x^2 + x^4 + ... + x^{2n} .$.

Exemple 4: une suite arithmético-géométrique

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , par : $$u_n = \dfrac{3\times 2^n- 4n+ 3}{ 2} \text{ et } v_n = \dfrac{3\times 2^n+ 4n- 3}{ 2}$$

  • Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n = u_n + v_n.$ Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.
  • Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_n = u_n - v_n$. Démontrer que $(t_n)$ est une suite arithmétique.
  • Exprimer la somme suivante en fonction de $n : S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$.

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