Baccalauréat STI2D Antilles Guyane 2013

Page 1 sur 8

Exercice 1 4 points

Suites

1. L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$. $$\begin{array}{|ll|}\hline \text{Entrée} :&\text{ Saisir la valeur de l'entier naturel } n\\ \text{Traitement} :&\text{ Affecter 2 à la variable } u \\ &\text{ Pour } i\text{ variant de 1 à } n \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } 1,5u \text{ à }u \\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie} :& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$ Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ?
2. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,5 u_{n}$.
   1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
   2. Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
3. On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]
   1. Calculer les valeurs des termes $S_{0}$, $S_{1}$ et $S_{2}$.
   2. Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie.
   3. Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$.
   4. En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$.