Baccalauréat S Liban 27 mai 2014

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A :

L'élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée.

Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $ 99,4 \%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement « L'élève se rend au lycée à vélo »,

$B$ l'évènement « l'élève se rend au lycée en bus » et $R$ l'évènement « L'élève arrive en retard au lycée ».

1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
2. Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
3. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $ 0,0192 $
4. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$.

1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
3. L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $ 0,9 $ ? Arrondir le résultat à la minute près.

Partie C : le bus

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.

On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$. On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

1. Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.