Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01.
Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne.

1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ;  +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$. Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
   1. Justifier que $\lambda = 0,1$.
   2. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
   3. Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fm de la première annéeb? Justifier.
   4. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier.
2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55 g et 65 g. On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$.
   1. Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
   2. Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
3. Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01.
Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne.

1. La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction $f$de densité de la loi exponentielle est donnée sur $[0 ;  +\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}$. Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de $X$, est de $10$ mois.
   1. Justifier que $\lambda = 0,1$.
   D’après l’énoncé, on a $E(X)=10$.
   Or $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\dfrac{1}{\lambda}=10 \iff \lambda =0,1$.
   $\quad$
   
   2. Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
   On veut calculer $P(X\geq 6)=\text{e}^{-0,1\times 6}=\text{e}^{-0,6}\approx 0,55$.
   La probabilité que le distributeur de glaces à l’italienne n’ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à $0,55$.
   $\quad$
   
   3. Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fm de la première année ? Justifier.
   La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement. Donc :
   $\begin{align*} P_{X\geq 6}(X\geq 12)&=P_{X\geq 6}(X\geq 6+6)\\
   &=P(X\geq 6)\\
   &=\text{e}^{-0,6}\\
   &\approx 0,55\end{align*}$.
   Sachant que le distributeur n’a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu’il n’en connaisse aucune jusqu’à la fin de la première année est environ égale à $0,55$.
   $\quad$
   
   4. Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps $t$, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement $(X > t)$ est égale à $0,05$. Déterminer la valeur de $t$ arrondie à l'entier.
   On cherche à résoudre l’équation :
   $\begin{align*} P(X>t)=0,05 &\iff \text{e}^{-0,1t}=0,05 \\
   &\iff -0,1t=\ln 0,05\\
   &\iff t=-10\ln 0,05\end{align*}$
   Ainsi $t\approx 30$.
   $\quad$
2. La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55 g et 65 g. On considère la variable aléatoire $M$ représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que $M$ suit la loi normale d'espérance $60$ et d'écart-type $2,5$.
   1. Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre $55$ g et $65$ g.
   On a $P(55 \leq M\leq 65)=P(\mu-2\sigma\leq M\leq \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
   Remarque : On pouvait également retrouver cette valeur directement avec la calculatrice.
   $\quad$
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   2. Déterminer la plus grande valeur de $m$, arrondie au gramme près, telle que la probabilité $P(M \geqslant m)$ soit supérieure ou égale à $0,99$.
   On veut déterminer le réel $m$ tel que $P(M\geq m)\geq 0,99 \iff P(M\leq m)\leq 0,01$.
   À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $m\approx 54$.
   $\quad$

   2ND DISTR 2Fracnormale( \1 , \2, \3 )EXE
   Avec une calculatrice de type TI $FracNormale(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$\Pi_{\2,\3}^{-1}(\1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\5} \text{ près.}$$

    

3. Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur $120$ consommateurs, $65$ ont choisi de la glace à la vanille. Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.
On a $n=120$ et la probabilité théorique qu’un consommateur choisisse la glace à la vanille est $p=\dfrac{2}{3}$.
Ainsi $n\geq 30$, $np=80\geq 5$ et $n(1-p)=40\geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de consommateurs choisissant la glace à la vanille est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}};\dfrac{2}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}}{120}}\right] \\
&\approx [0,58;0,76]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{65}{120}\approx 0,54 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $5\%$ cela remet en cause l’hypothèse faite par le commerçant.
$\quad$

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

L'écoulement de l'eau d'un robinet a un débit constant et modéré.

On s'intéresse en particulier à une partie du profil d'écoulement représentée en annexe 1 par la courbe $C$ dans un repère orthonormé.

Partie A

On considère que la courbe $C$ donnée en  annexe 1  est la représentation graphique d'une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle ]0 ; 1] qui respecte les trois conditions suivantes: \[(H):\: f(1) = 0\qquad f'(1) = 0,25\quad \text{et} \:\: \displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = - \infty.\]

1. La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ?
2. Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $g(x) = k \ln x$.
   1. Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$.
   2. La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ?
3. Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $h(x) = \dfrac{a}{x^4} + bx$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction $h$ respecte les trois conditions $(H)$.

Partie B

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d'une fonction $f$continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 1] d'expression: \[f(x) = \dfrac{1}{20}\left(x - \dfrac{1}{x^4} \right).\]

1. Justifier que l'équation $f(x) = -5$ admet sur l'intervalle ]0 ; 1] une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
2. On admet que le volume d'eau en cm$^3$, contenu dans les 5 premiers centimètres de l'écoulement, est donné par la formule : $$V = \displaystyle\int_{\alpha}^1\pi x^2 f'(x)\:\text{d}x.$$
   1. Soit $u$ la fonction dérivable sur ]0 ; 1] définie par $u(x) = \dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée.
   2. Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$.

 Annexe 1

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

L'écoulement de l'eau d'un robinet a un débit constant et modéré.

On s'intéresse en particulier à une partie du profil d'écoulement représentée en annexe 1 par la courbe $C$ dans un repère orthonormé.

Partie A

On considère que la courbe $C$ donnée en  annexe 1  est la représentation graphique d'une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle ]0 ; 1] qui respecte les trois conditions suivantes: \[(H):\: f(1) = 0\qquad f'(1) = 0,25\quad \text{et} \:\: \displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}} f(x) = - \infty.\]

1. La fonction $f$ peut-elle être une fonction polynôme du second degré ? Pourquoi ?
Si une expression algébrique de $f$ est, sur l’intervalle $]0;1]$, $f(x)=ax^2+bx+c$ alors $\lim\limits_{x \to 0^+}=c$
D’après l’énoncé on a $\lim\limits_{x\to 0^+}=-\infty$.
La fonction $f$ ne donc pas une fonction polynôme du second degré.
$\quad$
2. Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $g(x) = k \ln x$.
   1. Déterminer le réel $k$ pour que la fonction $g$ respecte les trois conditions $(H)$.
   La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par un réel.
   Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a : $g'(x)=\dfrac{k}{x}$.
   Par conséquent $g'(1)=k$.
   Si la fonction $g$ vérifie les trois conditions (H) on a donc $g'(1)=0,25$ et donc $k=0,25$.
   Ainsi $g(x)=0,25\ln x$.
   De plus $g(1)=0,25\ln 1=0$
   Et, puisque $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et que $0,25>0$, on a$\lim\limits_{x \to 0^+}g(x)=-\infty$.
   $\quad$
   
   2. La courbe représentative de la fonction $g$ coïncide-t-elle avec la courbe $C$ ? Pourquoi ?
   On a $f(0,3)\approx -5,5$ et $g(0,3)\approx -0,30$.
   La courbe représentative de la fonction $g$ ne coïncide donc pas avec la courbe $C$.
   $\quad$
3. Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $h(x) = \dfrac{a}{x^4} + bx$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer $a$ et $b$ pour que la fonction $h$ respecte les trois conditions $(H)$.
On a $h(1)=a+b=0 \iff a=-b$.
La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Ainsi, pour tout réel $x\in]0;1]$ on a $h'(x)=-\dfrac{4a}{x^5}+b$.
Or $h'(1)=0,25 \iff -4a+b=0,25$.
On doit donc résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases}a=-b\\-4a+b=0,25\end{cases} &\iff \begin{cases} a=-b\\4b+b=0,25\end{cases}\\
&\iff \begin{cases} a=-b\\5b=0,25 \end{cases}\\
&\iff \begin{cases} b=0,05\\a=-0,05\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $h(x)=0,05x-\dfrac{0,05}{x^4}$.
Vérifions que les trois conditions sont bien vérifiées :
$h(1)=0,05-0,05=0$.
$h'(1)=0,05+\dfrac{4\times 0,05}{1^5}=0,25$.
$\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}-\dfrac{0,05}{x^4}=-\infty$.
$\quad$

Partie B

On admet dans cette partie que la courbe $C$ est la représentation graphique d'une fonction $f$continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 1] d'expression: \[f(x) = \dfrac{1}{20}\left(x - \dfrac{1}{x^4} \right).\]

1. Justifier que l'équation $f(x) = -5$ admet sur l'intervalle ]0 ; 1] une unique solution qui sera notée $\alpha$. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
On a $f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)$ sur l’intervalle $]0;1]$.
Ainsi $f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)$.
Par conséquent, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $]0;1]$ en tant que somme de fonctions positives sur cet intervalle.
La fonction $f$ est donc continue et strictement croissante sur l’intervalle $]0;1]$.
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$ et $f(1)=0$.
Or $-5\in]-\infty;0]$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0;1]$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx 0,32$.
$\quad$
2. On admet que le volume d'eau en cm$^3$, contenu dans les 5 premiers centimètres de l'écoulement, est donné par la formule : $$V = \displaystyle\int_{\alpha}^1\pi x^2 f'(x)\:\text{d}x.$$
   1. Soit $u$ la fonction dérivable sur ]0 ; 1] définie par $u(x) = \dfrac{1}{2x^2}$. Déterminer sa fonction dérivée.
   Sur l’intervalle $]0;1]$ on a $u'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2}{x^3}=-\dfrac{1}{x^3}$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la valeur exacte de $V$. En utilisant la valeur approchée de $\alpha$ obtenue à la question 1, donner alors une valeur approchée de $V$.
   On a :
   $\begin{align*} \displaystyle V&=\int_{\alpha}^1 \pi x^2 f'(x)\text{d} x \\
   &=\pi \int_{\alpha}^1 \left(\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\right)\times x^2\text{d} x \\
   &=\dfrac{\pi}{20}\int_{\alpha}^1 \left(x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)\text{d} x \\
   &=\dfrac{\pi}{20}\left[\dfrac{x^3}{3}-4\times \dfrac{1}{2x^2}\right]_{\alpha}^1 \\
   &=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{1}{3}-2-\left(\dfrac{\alpha^3}{3}-\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\right) \\
   &=\dfrac{\pi}{20}\left(-\dfrac{5}{3}-\dfrac{\alpha^3}{3}+\dfrac{2}{\alpha^2}\right)\\
   &\approx 2,8 \text{ cm}^3\end{align*}$.
   $\quad$

 Annexe 1

Exercice 3 5 points

Suites et calcul intégral

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d }x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d }x.\]

1. Montrer que $I_0 = \ln (2)$.
2. 1. Calculer $I_0 - I_1$.
   2. En déduire $I_1$.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$.
   2. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$.
4. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
   2. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = 10 - I_n$.
   2. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Suites et calcul intégral

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie par $I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1 - x}\:\text{d }x$ et pour tout entier naturel $n$ non nul \[I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1 - x}\:\text{d }x.\]

1. Montrer que $I_0 = \ln (2)$.
On a :
$\begin{align*} I_0&=\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\text{d} x \\
&=\left[-\ln(1-x)\right]_0^{1/2} \\
&=-\ln(0,5)+\ln(1)\\
&=\ln(2)\end{align*}$
$\quad$
2. 1. Calculer $I_0 - I_1$.
   On a :
   $\begin{align*} I_0-I_1&=\displaystyle\int_0^{1/2}\dfrac{1}{1-x}\text{d} x-\int_0^{1/2}\dfrac{x}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}\dfrac{1-x}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}1\text{d} x \\
   &=\big[x\big]_0^{1/2}\\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire $I_1$.
   Donc $\ln(2)-I_1=\dfrac{1}{2}\iff I_1=\ln(2)-\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: I_n - I_{n+1} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1}}{n+1}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} I_n-I_{n+1}&=\displaystyle \int_0^{1/2}\dfrac{x^n}{1-x}\text{d} x-\int_0^{1/2}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\text{d} x \\
   &=\int_0^{1/2}x^n\text{d} x \\
   &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/2}\\
   &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Proposer un algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel $n$ donné, la valeur de $I_n$.
   On a donc, pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} $.
   On peut donc utiliser l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|} \hline I\leftarrow \ln(2)\\ \text{Si }n>0 \\ \hspace{1cm} \text{Pour } k \text{ allant de 0 à } n-1 \text{faire}\\ \hspace{2cm} I\leftarrow I-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}}{k+1} \\ \hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\ \text{Fin Si}\\ \hline \end{array}$$
   $\quad$
4. Soit $n$ un entier naturel non nul. On admet que si $x$ appartient à l'intervalle $\left[0 ; \frac{1}{2}\right]$ alors $0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 - x} \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{2^n}$.
   On considère un entier naturel $n$ non nul.
   Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $0\leq \dfrac{x^n}{1-x}\leq \dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   En intégrant cette inégalité sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on obtient :
   $0\leq \displaystyle \int_0^{1/2} \dfrac{x^n}{1-x}\text{d} x \\\int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\text{d} x$
   Or $\displaystyle \int_0^{1/2}\dfrac{1}{2^{n-1}}\text{d} x=\dfrac{1}{2^{n-1}}\big[x\big]_0^{1/2}=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^{n}}$
   Donc $0\leq I_n\leq \dfrac{1}{2^{n}}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire la limite de la suite $\left(I_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2^n}= \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose \[S_n = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^3}{3} + \ldots +\dfrac{\left( \frac{1}{2}\right)^n}{n}. \]
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $S_n = 10 - I_n$.
   Montrons par récurrence sur $n$, entier naturel non nul, que $S_n=I_0-I_n$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $I_0-I_1=\dfrac{1}{2}=S_1$.
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. On a donc $S_n=I_0-I_n$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $S_{n+1}=I_0-I_{n+1}$.
   $\begin{align*} S_{n+1}&=S_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\
   &=I_0-I_n+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\\
   &=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\right) \\
   &=I_0-I_{n+1}\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=I_0-I_n$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
   On sait que $\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=I_0=\ln(2)$.
   $\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie :

• ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB $= 12$, AD $= 18$ et AE $= 6$
• EBDG est un tétraèdre.

 L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12 ; 0 ; 0), D(0 ; 18 ; 0) et E(0 ; 0 ; 6).

1. Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne $3x + 2y + 6z - 36 = 0$.
2. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
   2. En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4 ; 6 ; 2) .
3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.
4. 1. Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.
   2. Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie.
5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.
   1. Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).
   2. Construire alors sur l'annexe 2 à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.
      
      

       ANNEXE 2

      

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie :

• ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB $= 12$, AD $= 18$ et AE $= 6$
• EBDG est un tétraèdre.

 L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine A dans lequel les points B, D et E ont pour coordonnées respectives B(12 ; 0 ; 0), D(0 ; 18 ; 0) et E(0 ; 0 ; 6).

1. Démontrer que le plan (EBD) a pour équation cartésienne $3x + 2y + 6z - 36 = 0$.
Montrons que les coordonnées des points $E, B$ et $D$ sont solutions de l’équation fournie.
Pour le point $E$ : $3\times 0+2\times 0+6\times 6-36=36-36=0$.
Pour le point $B$ : $3\times 12+2\times 0+6\times 0-36=36-36=0$.
Pour le point $D$ : $3\times 0+2\times 18+6\times 0-36=36-36=0$.
Une équation cartésienne du plan $(EBD)$ est donc $3x+2y+6z-36=0$.
$\quad$
2. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).
   On a $\vec{AG}(12;18;6)$.
   Ainsi une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est : $$\begin{cases} x=12t\\y=18t\\z=6t\end{cases} \quad, t\in\matbb R$$
   $\quad$
   
   2. En déduire que la droite (AG) coupe le plan (EBD) en un point K de coordonnées (4 ; 6 ; 2) .
   Prenons $t=\dfrac{1}{3}$. On a alors $\begin{cases} 12t=4\\18t=6\\6t=3\end{cases}$. Le point $K(4;6;3)$ appartient donc à la droite $(AG)$.
   De plus $3\times 4+2\times 6+6\times 2-36=12+12+12-36=0$.
   Le point $K$ appartient également au plan $(EBD)$.
   Un vecteur normal au plan $(EBD)$ est $\vec{n}(3;2;6)$
   $\vec{n}.\vec{AG}=3\times 12+2\times 18+6\times 6=108\neq 0$. La droite $(AG)$ n’est donc pas incluse dans le plan $(EBD)$.
   Ainsi la droite $(AG)$ coupe le plan $(EBD)$ en un point $K$ de coordonnées $(4;6;2)$.
   $\quad$
3. La droite (AG) est-elle orthogonale au plan (EBD) ? Justifier.
On a $\vec{AG}(12;18;6)$ et $\vec{n}(3;2;6)$.
Ils ont la même troisième coordonnée mais les deux autres sont différentes. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et la droite $(AG)$ n’est pas orthogonale au plan $(EBD)$.
$\quad$
4. 1. Soit M le milieu du segment [ED]. Démontrer que les points B, K et M sont alignés.
   Le point $M$ est le milieu du segment $[ED]$.
   Ainsi $x_M=\dfrac{0+0}{2}$, $y_M=\dfrac{18+0}{2}=9$ et $z_M=\dfrac{0+6}{2}=3$.
   Les coordonnées du points $M$ sont donc $(0;9;3)$.
   Par conséquent :
   – les coordonnées du vecteur sont $\vec{BM}(-12;9;3)$;
   – les coordonnées du vecteur sont $\vec{BK}(-8;6;2)$.
   $\dfrac{-12}{-8}=1,5$, $\dfrac{9}{6}=1,5$ et $\dfrac{3}{2}=1,5$.
   Cela signifie donc que $\vec{BM}=1,5\vec{BK}$.
   Les deux vecteurs sont colinéaires et les points $B$, $M$ et $K$ sont alignés.
   $\quad$
   
   2. Construire alors le point K sur la figure donnée en annexe 2 à rendre avec la copie.
   Le point $K$ est donc le point d’intersection des droites $(AG)$ et $(BM)$.
   $\quad$
5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.
   1. Démontrer que le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).
   Les plans $(AED)$ et $(EBD)$ se coupent selon la droite $(ED)$.
   Le plan $P$ est parallèle au plan $(AED)$ et passe par le point $K$.
   Le point $K$ appartient donc aux plans $(EBD)$ et $P$.
   Par conséquent l’intersection du plan $P$ et du plan $(EBD)$ est une droite parallèle à la droite $(ED)$ passant par le point $K$.
   $\quad$
   
   2. Construire alors sur l'annexe 2 à rendre avec la copie l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.
      
      

    ANNEXE 2
   

   L’intersection du plan $P$ et de la face $EBD$ est représentée en bleue.

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: $u_0 = l,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4&5 &6&7&8&9&10&11&12\\ \hline v_n&0 &1 &4 &15 &56 &209&780& 2911 & 10864 & 40545 & 151316 & 564719 & 2107560 \\ \hline \end{array} $$

1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
2. On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l} u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\ v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n \end{array}\right.$.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$.
3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.
4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.
5. Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·

Partie B

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.
Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

1. Montrer que $q < p < 2q$.
2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). Soit le couple $(p' ; q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.
3. 1. Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$
   2. Justifier que $(p' ; q')$ est un couple d'entiers relatifs.
   3. On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$.
   4. Montrer que $0 < q' < q$.
   5. En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}$ et les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par: $u_0 = l,\: v_0 = 0$, et pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = M\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

On a calculé les premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &0 &1 &2 &3 &4&5 &6&7&8&9&10&11&12\\ \hline v_n&0 &1 &4 &15 &56 &209&780& 2911 & 10864 & 40545 & 151316 & 564719 & 2107560 \\ \hline \end{array} $$

1. Conjecturer les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$.
Il semblerait que les valeurs possibles du chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ soit $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ et $9$.
$\quad$
2. On admet que pour tout entier naturel $n, \:\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix} = M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier nature $n,\:\left\{\begin{array}{l c l} u_{n+3}&=&26u_n + 45v_n\\ v_{n+3}&=&15u_n + 26v_n \end{array}\right.$.
   D’après la calculatrice on a $M^3=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
   $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$
   Par conséquent $\begin{cases} u_{n+3}=26u_n+45v_n\\v_{n+3}=15u_n+26v_n\end{cases}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n :\: v_{n+3} \equiv v_n \:[5]$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $v_{n+3}\equiv 26v_n~[5]$ soit $v_{n+3}\equiv v_n~[5]$.
   $\quad$
3. Soit $r$ un entier naturel fixé. Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel $q,\: v_{3q+r} \equiv v_r \:[5]$.
Soit $r$ un entier naturel fixé.
Montrons par récurrence sur l’entier naturel $q$ que $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
Initialisation : Si $q=0$ alors $v_{3q+r}=v_r\equiv v_r~[5]$.
La propriété est vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $q$. Donc $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
Montrons qu’elle encore vraie au rang $q+1$, c’est-à-dire que $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$ soit encore $v_{3q+r+3}\equiv v_r~[5]$.
D’après la question précédente, en prenant $n=3q+r$, on a $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}~[5]$.
D’après l’hypothèse de récurrence on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
Par conséquent $v_{3(q+1)+r}\equiv v_r~[5]$
La propriété est vraie au rang $q+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $q$ on a $v_{3q+r}\equiv v_r~[5]$.
$\quad$
4. En déduire que pour tout entier naturel $n$ le terme $v_n$ est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.
Ainsi, pour tout entier naturel $q$ on a :
– $v_{3q}\equiv v_0~[5]$ soit $v_{3q}\equiv 0~[5]$
– $v_{3q+1}\equiv v_1~[5]$ soit $v_{3q+1}\equiv 1~[5]$
– $v_{3q+2}\equiv v_2~[5]$ soit $v_{3q+2}\equiv 4~[5]$
On a ainsi parcouru tous les termes de la suite $\left(v_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$, le terme $v_n$ est donc congru à $0$, $1$ ou $4$ modulo $5$.
$\quad$
5. Conclure quant à l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$·
Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $k$ tel que $v_n=0+5k$, $v_n=1+5k$ ou $v_n=4+5k$.
– Si $k$ est pair il s’écrit alors sous la forme $k=2p$ et on a donc :
$v_n=0+10p$, $v_n=1+10p$ ou $v_n=4+10p$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $0$, $1$ ou $4$.
– Si $k$ est impair il s’écrit alors sous la forme $k=2p+1$ et on a donc :
$v_n=0+10p+5$, $v_n=1+10p+5$ ou $v_n=4+10p+5$ ce qui signifie que $v_n$ est congru à $5$, $6$ ou $9$.
L’ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite $\left(v_n\right)$ est donc $\left\{0;1;4;5;6;9\right\}$.
$\quad$

Partie B

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel en utilisant la matrice $M$.
Pour cela, on effectue un raisonnement par l'absurde et on suppose que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls, avec $q$ le plus petit entier naturel possible.

1. Montrer que $q < p < 2q$.
On a donc $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$.
Puisque $\sqrt{3}>1$, cela signifie que $p>q$.
$\sqrt{3}=\dfrac{p}{q} \ssi p=q\sqrt{3}$ et donc $p^2=3q^2<4q^2$.
Comme $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls on a donc $p<2q$.
Ainsi $q<p<2q$.
$\quad$
2. On admet que la matrice $M$ est inversible. Donner son inverse $M^{-1}$ (aucune justification n'est attendue). Soit le couple $(p' ; q')$ défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.
On a $M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}$
$\quad$
$\quad$
3. 1. Vérifier que $p' = 2p - 3q$ et que $q' = -p + 2q.$
   On a :
   $\begin{align*} \begin{pmatrix} p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} &\ssi \begin{pmatrix}p’\\q’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p-3q\\-p+2q\end{pmatrix} \\
   &\ssi \begin{cases} p’=2p-3q\\q’=-p+2q\end{cases}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Justifier que $(p' ; q')$ est un couple d'entiers relatifs.
   $p$ et $q$ sont des entiers naturels donc $2p-3q$ et $-p+2q$ sont des entiers.
   On sait que $q<p<2q$
   Donc $2q-3q<2p-3q<4q-3q \ssi -q<p'<q$ : ce qui signifie que $p’\in \Z$.
   De même $-2q<-p<-q \ssi 0<-p+2q<q$ : ce qui signifie que $q’\in \N$ et donc $q’\in \Z$.
   $(p’,q’)$ est par conséquent un couple d’entier relatifs.
   $\quad$
   
   3. On rappelle que $p = q\sqrt{3}$. Montrer que $p' = q'\sqrt{3}$.
   On a $q’=-p+2q=-q\sqrt{3}+2q=\left(2-\sqrt{3}\right)q$.
   Donc
   $\begin{align*}q&=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\\
   &=\dfrac{q’}{2-\sqrt{3}}\times \dfrac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\
   &=\left(2+\sqrt{3}\right)q’\end{align*}$.
   De plus :
   $\begin{align*} p’&=2p-3q\\
   &=2q\sqrt{3}-3q\\
   &=\left(2\sqrt{3}-3\right)q\\
   &=\left(2\sqrt{3}-3\right)\times \left(2+\sqrt{3}\right)q’\\
   &=q’\sqrt{3}\end{align*}$
   $\quad$
   
   4. Montrer que $0 < q' < q$.
   On a montré à la question 3.b. que $q’>0$.
   D’après la question précédente on a $q=\left(2+\sqrt{3}\right)q’$.
   Or $2+\sqrt{3}>2>1$ donc $q>q’$.
   Par conséquent $0<q'<q$.
   $\quad$
   
   5. En déduire que $\sqrt{3}$ n'est pas un rationnel.
   On a donc montrer qu’on pouvait écrire $\sqrt{3}=\dfrac{p’}{q’}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
   De plus $0<q'<q$. Cela signifie donc, puisque $q’$ et $\sqrt{3}$ sont positifs que $p’$ l’est aussi.
   Or $q$ le plus petit entier naturel tel que $\sqrt{3}$ s’écrive sous la forme $\dfrac{p}{q}$.
   Il y a donc une absurdité et $\sqrt{3}$ n’est pas un rationnel.
   $\quad$

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par \[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]
   1. Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0~;~1]$, $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$.
   2. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle $]0~;~1]$ (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle).

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~1]$ par $g(x) = \ln x$. Soit $a$ un réel de l'intervalle $ ]0~;~1]$. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ . On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle $]0~;~1]$.

1. Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 
   
   
   1. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire.
   2. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$.
   3. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ . Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle ]0 ; 1], l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2$.
2. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire $\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; 1]$ par \[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]
   1. Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0~;~1]$, $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\left(1-\ln x\right)^2+x\times \dfrac{-2}{x}\times \left(1-\ln x\right) \\
   &=\left(1-\ln x\right)\left(\left(1-\ln x\right)-2\right)\\
   &=\left(1-\ln x\right)\left(-1-\ln x\right) \\
   &=-\left(1-\ln x\right)\left(1+\ln x\right)\\
   &=\left(\ln x-1\right)\left(1+\ln x\right)\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0~;~1] (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle).
   Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a $\ln x\leq 0$ donc $\ln x-1\leq 0$.
   $1+\ln x=0 \iff \ln x=-1 \iff x=\text{e}^{-1}$
   et $1+\ln x>0 \iff \ln x>-1 \iff x>\text{e}^{-1}$.
   Dressonss alors le tableau d signe de la dérivée :
   
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~1]$ par $g(x) = \ln x$. Soit $a$ un réel de l'intervalle $ ]0~;~1]$. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ . On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle $]0~;~1]$.

1. Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 
   
   
   1. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire.
   Graphiquement l’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ est $\mathscr{A}(0,2)=\dfrac{0,52\times 2,6}{2}=0,676$ u.a.
   $\quad$
   
   2. Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$.
   Par définition de la fonction $\ln$ la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0;1]$.
   Une équation de la tangente $d_{0,2}$ est de la forme :
   $y=g'(0,2)(x-0,2)+g(0,2)$
   Or $g'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $g'(0,2)=5$.
   Une équation de cette tangente est donc :
   $y=5(x-0,2)+\ln(0,2)$ soit $y=5x+\ln(0,2)-1$.
   $\quad$
   
   3. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ . Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle ]0 ; 1], l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2$.
   Ainsi le point$P_{0,2}$ a pour coordonnées $\left(0;\ln(0,2)-1\right)$.
   et $5x+\ln(0,2)-1=0\iff x=\dfrac{1-\ln(0,2)}{5}$
   Le point $N_{0,2}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1-\ln(0,2)}{5};0\right)$.
   L’aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ est donc :
   $\begin{align*} \mathscr{A}(0,2)&=\dfrac{\left|\dfrac{1-\ln(0,2)}{5}\times \left(\ln(0,2)-1\right)\right|}{2}\\
   &=\dfrac{\left(1-\ln(0,2)\right)^2}{10}\end{align*}$
   $\quad$
2. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire $\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale.
On a ainsi $\mathscr{A}(a)=\dfrac{f(a)}{2}$.
D’après le tableau de variation de la fonction $f$, l’aire est donc maximale pour $a=\text{e}^{-1}$ et elle vaut alors $2\text{e}^{-1}$.
$\quad$

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M’$ d'affixe $z’$ tel que \[z’ = - \dfrac{1}{z}.\]

1. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$ image du point A par la fonction $f$.
   2. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction $f$.
   3. Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents.
2. Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$.
   1. Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$.
   2. Est-il vrai que si un point $M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
3. Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$.
   2. Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$.
   3. Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ d’unité 2 cm. On appelle $f$ la fonction qui, à tout point $M$, distinct du point O et d'affixe un nombre complexe $z$, associe le point $M’$ d'affixe $z’$ tel que \[z’ = - \dfrac{1}{z}.\]

1. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point A$'$ image du point A par la fonction $f$.
   On a :
   $\begin{align*} z_{A’}&=-\dfrac{1}{-1+\text{i}}\\
   &=-\dfrac{-1-\text{i}}{(-1)^2+1^2}\\
   &=\dfrac{1+\text{i}}{2}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point B$'$ image du point B par la fonction $f$.
   On a :
   $\begin{align*} z_{B’}&=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i} \pi/3}} \\
   &=-2\text{e}^{-\text{i} \pi/3}\\
   &=2\text{e}^{\text{i} \pi} \text{e}^{-\text{i} \pi/3} \\
   &=2\text{e}^{2\text{i} \pi/3}\end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Sur la copie, placer les points A, B, A$'$ et B$’$ dans le repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Pour les points B et B$’$, on laissera les traits de construction apparents.
   
2. Soit $r$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel. On considère le complexe $z$ défini par $z = r\text{e}^{\text{i}\theta}$.
   1. Montrer que $z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}$.
   On a :
   $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{r\text{e}^{\text{i} \theta}} \\
   &=-\dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i} \theta}\\
   &=\text{e}^{\text{i} \pi}\times \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i} \theta}\\
   &=\dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi-\theta)}\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Est-il vrai que si un point $M$, distinct de 0, appartient au disque de centre 0 et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre 0 et de rayon 1, alors son image $M’$ par la fonction $f$ est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
   Si un point $M$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $1$ sans appartenir au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ alors $r<1$.
   Donc $\left|z’\right|=\dfrac{1}{r}>1$
   Ainsi le point $M’$ est à l’extérieur de ce disque.
   L’affirmation est donc vraie.
3. Soit le cercle $\Gamma$ de centre K d'affixe $z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
   1. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est $x^2 + x + y^2 = 0$.
   Une équation cartésienne du cercle $\Gamma$ est :
   $\begin{align*} &\left(x-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+y^2=\dfrac{1}{2^2}\\
   \iff & x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2=\dfrac{1}{4} \\
   \iff &x^2+x+y^2=0\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Soit $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ non tous les deux nuls. Déterminer la forme algébrique de $z’$ en fonction de $x$ et $y$.
   Si $z=x+\text{i} y$ alors :
   $\begin{align*} z’&=-\dfrac{1}{x+\text{i} y} \\
   &=-\dfrac{x-\text{i} y}{x^2+y^2} \\
   &=\dfrac{-x+\text{i} y}{x^2+y^2}
   \end{align*}$
   
   3. Soit $M$ un point, distinct de O, du cercle $\Gamma$. Montrer que l'image $M’$ du point $M$ par la fonction $f$ appartient à la droite d'équation $x = 1$.
   Soit $M$ un point du cercle $\Gamma$ distinct du point $O$ on a donc $x^2+x+y^2=0$ et $(x;y)\neq (0,0)$.
   Ainsi $x=-\left(x^2+y^2\right)$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} z’&=\dfrac{x^2+y^2+\text{i} y}{x^2+y^2} \\
   &=1+\dfrac{y}{x^2+y^2}\text{i}\end{align*}$
   Le point $M’$ appartient donc bien à la droite d’équation $x=1$.
   Remarque : Une bonne question serait de se demander si tous les points de la droite sont atteints.
   $\quad$

Exercice 3 6 points

Géométrie

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A. Soit $d$ la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B. 

1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.
3. 1. Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.
   2. On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.

Partie B

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A$(3~;~1~;~ -5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2t + 1\\ y &= &- 2 t + 9\\ z&=&t - 3 \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb R$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point A.
2. Montrer que le point d'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point B$(5~;~5~;~-1)$,
3. Justifier que le point C$(7~;~3~;~-9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
4. Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$.
   1. Justifier que le triangle AB$M$ est rectangle.
   2. Montrer que le triangle AB$M$ est isocèle en B si et seulement si le réel $t$ vérifie l'équation $t^2 - 4t = 0$.
   3. En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles AB$M_1$ et AB$M_2$ soient isocèles en B.

Partie C

On donne le point D(9 ; 1 ; 1) qui est un des deux points solutions de la question 4. c. de la partie B. Les quatre sommets du tétraèdre ABCD sont situés sur une sphère. En utilisant les résultats des questions des parties A et B précédentes, déterminer les coordonnées du centre de cette sphère et calculer son rayon.

Correction de l'exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en A. Soit $d$ la droite orthogonale au plan P et passant par le point B. On considère un point D de cette droite distinct du point B. 

1. Montrer que la droite (AC) est orthogonale au plan (BAD).
La droite $d$ est orthogonale au plan $P$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(AC)$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Par conséquent la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
Par construction les droites $(AB)$ et $d$ sont sécantes
La droite $(AC)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan $(BAD)$. Elle est donc orthogonale à ce plan.
$\quad$

On appelle bicoin un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles.

2. Montrer que le tétraèdre ABCD est un bicoin.
>La droite $d$ est orthogonale à toutes les droites du plan $(ABC)$. Par conséquent les triangles $DBA$ et $DBC$ sont rectangles en $B$.
Par définition le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Et
$\begin{align*} \vec{AD}.\vec{AC}&=\left(\vec{AB}+\vec{BD}\right).\vec{AC} \\
&=\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{BD}.\vec{AC} \\
&=0+0 \\
&=0
\end{align*}$
Par conséquent le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.
Remarque : Puisque la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BAD)$, elle est en particulier orthogonale à la droite $(BD)$ et donc $\vec{BD}.\vec{AC}=0$.
$\quad$
3. 1. Justifier que l'arête [CD] est la plus longue arête du bicoin ABCD.
   Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$ donc $AD>AB$ et $AD>BD$.
   Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc $BC>AB$ et $BC>AC$.
   Le triangle $BCD$ est rectangle en $B$ donc $DC>BD$ et $DC>BC$.
   Le triangle $ADC$ est rectangle en $A$ donc $DC>AD$ et $DC>AC$.
   Ainsi $DC>AD>AB$, $DC>AD>AB$ et $DC>AC$.
   L’arête $[CD]$ est bien la plus longue arête du bicoin $ABCD$.
   $\quad$
   
   2. On note I le milieu de l'arête [CD]. Montrer que le point I est équidistant des 4 sommets du bicoin ABCD.
   $I$ est le milieu de l’hypoténuse $[DC]$ du triangle $ADC$ rectangle en $A$. C’est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $IA=IC=ID$.
   $I$ est le milieu de l’hypoténuse $[DC]$ du triangle $BCD$ rectangle en $B$. C’est donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle et $IB=IC=ID$.
   Ainsi $IA=IB=IC=ID$ et le point $I$ est équidistant des $4$ sommets.

Partie B

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A$(3~;~1~;~ -5)$ et la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 2t + 1\\ y &= &- 2 t + 9\\ z&=&t - 3 \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb R$.

1. Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ orthogonal à la droite $d$ et passant par le point A.
Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(2;-2;1)$.
Ce vecteur est normal au plan $P$.
Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-2y+z+d=0$.
Le point $A$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-5+d=0 \iff d=1$
Une équation cartésienne de $P$ est donc $2x-2y+z+1=0$.
$\quad$
2. Montrer que le point d'intersection du plan $P$ et de la droite $d$ est le point B$(5~;~5~;~-1)$,
En prenant $t=2$ dans la représentation paramétrique de la droite $d$ on retrouve les coordonnées du point $B$.
Et $2\times 5-2\times 5-1+1=10-10=0$.
Le point $B$ appartient donc à la fois au plan $P$ et à la droite $d$.
La droite $d$, par définition, n’est pas incluse dans le plan $P$.
Ainsi le point $B(5;5;-1)$ est le point d’intersection du plan $P$ et de la droite $d$.
$\quad$
3. Justifier que le point C$(7~;~3~;~-9)$ appartient au plan $P$ puis montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
$2\times 7-2\times 3-9+1=14-6-9+1=0$.
Le point $C$ appartient donc au plan $P$.
On a de plus :
$AB^2=(5-3)^2+(5-1)^2+(-1+5)^2=36$
$AC^2=(7-3)^2+(3-1)^2+(-9+5)^2=36$
$BC^2=(7-5)^2+(3-5)^2+(-9+1)^2=72$
Ainsi $AB^2+AC^2=BC^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Puisque $AB^2=AC^2$, le triangle $ABC$ est également isocèle en $A$.
$\quad$
4. Soit $t$ un réel différent de $2$ et $M$ le point de paramètre $t$ appartenant à la droite $d$.
   1. Justifier que le triangle AB$M$ est rectangle.
   les points $M$ et $B$ appartiennent à la droite $d$ orthogonale au plan $P$ et donc en particulier à la droite $(AB)$.
   Ainsi le triangle $ABM$ est rectangle en $B$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que le triangle AB$M$ est isocèle en B si et seulement si le réel $t$ vérifie l'équation $t^2 - 4t = 0$.
   Le point $M$ a pour coordonnées $(2t+1;-2t+9;t-3)$ avec $t\neq 2$.
   On a alors :
   $\begin{align*} BM^2&=(2t+1-5)^2+(-2t+9-5)^2+(t-3+1)^2\\
   &=(2t-4)^2+(-2t+4)^2+(t-2)^2\\
   &=4t^2-16t+16+4t^2-16t+16+t^2-4t+4\\
   &=9t^2-36t+36\end{align*}$
   Par conséquent, $AB$ et $BM$ étant des nombres positifs on a :
   $\begin{align*} AB=BM&\iff AB^2=BM^2 \\
   &\iff 9t^2-36t+36=36 \\
   &\iff 9t^2-36t=0\\
   &\iff t^2-4t=0\end{align*}$
   Le triangle $ABM$ est donc isocèle en $B$ si, et seulement si, le réel $t$ vérifie l’équation $t^2-4t=0$.
   $\quad$
   
   3. En déduire les coordonnées des points $M_1$ et $M_2$ de la droite $d$ tels que les triangles rectangles AB$M_1$ et AB$M_2$ soient isocèles en B.
   Or $t^2-4t=0\iff t(t-4)=0\iff t=0$ ou $t=4$.
   Si $t=0$ on obtient le point $M_1(1;9;-3)$
   Si $t=4$ on obtient le point $M_2(9;1;1)$
   D’après les deux questions précédentes, les triangles $ABM_1$ et $ABM_2$ sont rectangles et isocèles en $B$.
   $\quad$

Partie C

On appelle $I$ le milieu de l’arête $[CD]$.
Ainsi le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7+9}{2};\dfrac{1+3}{2};\dfrac{1-9}{2}\right)$ soit $(8;2;-4)$.
D’après les parties A et B, le tétraèdre $ABCD$ est un bicoin et $I$ est équidistant des quatre sommets de ce bicoin.
$I$ est donc le centre de la sphère cherchée.

Le rayon de cette sphère est :
$\begin{align*} R&=IA \\
&=\sqrt{(8-3)^2+(1-2)^2+(-5+4)^2} \\
&=\sqrt{25+1+1}\\
&=\sqrt{27}\\
&=3\sqrt{3}\end{align*}$

Une figure :
 

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

• à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$;
• si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
• si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

1. 1. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les évènements $R_1$ et $R_2$.
   2. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
   3. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
   4. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n = p\left(R_n\right)$.
   1. Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) : 
      
   2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2$.
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8$.
   4. Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.
Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide. On suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

• à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est $0,9$;
• si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,95$ ;
• si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est $0,2$.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le client rapporte la bouteille de son panier de la $n$-ième semaine ».

1. 1. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les évènements $R_1$ et $R_2$.
      
      
   
   2. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.
   On veut calculer
   $\begin{align*} P\left(R_1\cap R_2\right)&=0,9\times 0,95 \\
   &=0,855\end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à $0,875$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\overline{R_1}\cap R_2\right)\\
   &=0,855+0,1\times 0,2\\
   &=0,875\end{align*}$
   $\quad$
   
   4. Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{R_2}\left(R_1\right)&=\dfrac{P\left(R_2\cap \overline{R_1}\right)}{P\left(R_2\right)} \\
   &=\dfrac{0,02}{0,875} \\
   &\approx 0,023\end{align*}$
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $r_n$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la $n$-ième semaine. On a alors $r_n = p\left(R_n\right)$.
   1. Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) : 
      
   
   2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1} = 0,75 r_n + 0,2$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} r_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
   &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\overline{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
   &=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right) \\
   &=0,95r_n+0,2-0,2r_n \\
   &=0,75r_n+0,2\end{align*}$
   $\quad$
   
   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_n = 0,1 \times 0,75^{n-1} + 0,8$.
   Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
   Initialisation : Si $n=1$ alors $0,1\times 0,75^0+0,8=0,9=r_1$.
   La propriété est donc vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $r_{n+1}=0,1\times 0,75^n+0,8$.
   $\begin{align*} r_{n+1}&=0,75r_n+0,2\\
   &=0,75\left(0,1\times 0,75^n+0,8\right)+0,2\\
   &=0,1\times 0,75^n+0,6+0,2\\
   &=0,1\times 0,75^n+0,8\end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $r_n=0,1\times 0,75^{n-1}+0,8$.
   $\quad$
   
   4. Calculer la limite de la suite $\left(r_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   On a $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^{n-1}=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=0,8$.
   Sur le long terme, la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier est $0,8$.
   $\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d'une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d'eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d'eau suivants:

• dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ;
• ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ;
• enfin, on rajoute $200$ litres d'eau dans le bassin A et $300$~litres d'eau dans le bassin B.

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement.
On modélise les quantités d'eau des deux bassins A et B à l'aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu'il n'y ait pas de débordement.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n \end{pmatrix}$. Ainsi $U_0 = \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$,  $U_{n+1} = MU_n + C$ où $M = \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
2. On considère la matrice $P = \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse.
   2. Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   3. Calculer $PDP$.
   4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = PD^nP$.

On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$,  $M_n = \begin{pmatrix}0,5^n& 3 \times 0,5^n - 3 \times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

1. Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X = MX + C$.
2. Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n - X$.
   1. Montrer que tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = MV_n$.
   2. On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$, $V_n = M^n V_0$.
      Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$,  $U_n = \begin{pmatrix}-18 \times 0,5^n + 9 \times 0,25^n + 10\\- 3 \times 0,25^n + 4\end{pmatrix}$.
3. 1. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite.
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
   3. On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c'est-à-dire pour éviter tout débordement.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans un jardin public, un artiste doit installer une œuvre aquatique commandée par la mairie. Cette œuvre sera constituée de deux bassins A et B ainsi que d'une réserve filtrante R. Au départ, les deux bassins contiennent chacun 100 litres d'eau. Un système de canalisations devra alors permettre de réaliser, toutes les heures et dans cet ordre, les transferts d'eau suivants:

• dans un premier temps, la moitié du bassin A se vide dans la réserve R ;
• ensuite, les trois quarts du bassin B se vident dans le bassin A ;
• enfin, on rajoute $200$ litres d'eau dans le bassin A et $300$~litres d'eau dans le bassin B.

Une étude de faisabilité du projet amène à étudier la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour éviter tout débordement.
On modélise les quantités d'eau des deux bassins A et B à l'aide de deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ : plus précisément pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau en centaines de litres qui seront respectivement contenues dans les bassins A et B au bout de $n$ heures. On suppose pour cette étude mathématique que les bassins sont a priori suffisamment grands pour qu'il n'y ait pas de débordement.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n \end{pmatrix}$. Ainsi $U_0 = \begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$,  $U_{n+1} = MU_n + C$ où $M = \begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$a_{n+1}=0,5a_n+0,75b_n+2$ et $b_{n+1}=0,25b_n+3$.
Ainsi :
$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Soit $U_{n+1}=MU_n+C$.
$\quad$
2. On considère la matrice $P = \begin{pmatrix}1 &3\\0&- 1\end{pmatrix}$.
   1. Calculer $P^2$. En déduire que la matrice $P$ est inversible et préciser sa matrice inverse.
   On a :
   $P^2=\begin{pmatrix} 1&3-3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
   Ainsi $P$ est inversible et $P^{-1}=P$.
   $\quad$
   
   2. Montrer que $PMP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   On a :
   $\begin{align*} PMP&=\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,5&0,75\\0&0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
   &=\begin{pmatrix}0,5&1,5\\0&-0,25\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&-1\end{pmatrix}\\
   &=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}\end{align*}$
   La matrice $D=PMP$ est donc une matrice diagonale et $D=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,25\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   3. Calculer $PDP$.
   On a :
   $\begin{align*} PMP=D&\iff PPMP=PD \quad (*)\\
   &\iff MP=PD\\
   &\iff MPP=PDP \quad (*)\\
   &\iff M=PDP\end{align*}$
   $(*)$ Puisque $P^{-1}=P$.
   $\quad$
   
   4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\, $M^n = PD^nP$.
   On note $I_2$ la matrice identité de taille $2$.
   Initialisation : Si $n=0$ on a $PD^0P=PI_2P=P^2=I_2$.
   Et $M^0=I_2$
   Donc $M^0=PD^0P$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=PD^nP$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $M^{n+1}=PD^{n+1}P$.
   $\begin{align*} M^{n+1}&=M^nM\\
   &=PD^nPPDP\\
   &=PD^nDP\\
   &=PD^{n+1}P\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $M^n=PD^nP$.
   $\quad$

On admet par la suite que pour tout entier naturel $n$,  $M_n = \begin{pmatrix}0,5^n& 3 \times 0,5^n - 3 \times 0,25^n\\0&0,25^n\end{pmatrix}$.

1. Montrer que la matrice $X = \begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}$ vérifie $X = MX + C$.
On a :
$\begin{align*} MX+C&=\begin{pmatrix}8\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix} \\
&=X\end{align*}$
$\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$, on définit la matrice $V_n$ par $V_n = U_n - X$.
   1. Montrer que tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = MV_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} V_{n+1}&=U_{n+1}-X \\
   &=MU_n+C-\left(MX+C\right)\\
   &=MU_n+C-MX-C\\
   &=MU_n-MX\\
   &=M\left(U_n-X\right)\\
   &=MV_n\end{align*}$
   $\quad$
   
   2. On admet que, pour tout entier naturel non nul $n$, $V_n = M^n V_0$.
      Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$,  $U_n = \begin{pmatrix}-18 \times 0,5^n + 9 \times 0,25^n + 10\\- 3 \times 0,25^n + 4\end{pmatrix}$.
   On a $V_0=U_0-X=\begin{pmatrix} -9\\-3\end{pmatrix}$
   Et pour tout entier naturel $n$ :
   $\begin{align*} U_n&=V_n+X\\
   &=M^nV_0+X \\
   &=\begin{pmatrix} -9\times 0,5^n-9\times 0,5^n+9\times 0,25^n\\-3\times 0,25^n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 10\\4\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}-18\times 0,5^n+9\times 0,25^n+10\\-3\times 0,25^n+4\end{pmatrix}\end{align*}$
   $\quad$
3. 1. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est croissante et majorée. Déterminer sa limite.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $b_n=-3\times 0,25^n+4$.
   Donc
   $\begin{align*} b_{n+1}-b_n&=-3\times 0,25^{n+1}+4+3\times 0,25^n-4\\
   &=-3\times 0,25^n\times (0,25-1) \\
   &=2,25\times 0,25^n\\
   &>0\end{align*}$
   La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante.
   De plus $b_n-4=-3\times 0,25^n<0$.
   La suite $\left(b_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$; elle converge donc.
   Or $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$.
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=4$.
   $\quad$
   
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$.
   $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,25^n=0$ et $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=10$.
   $\quad$
   
   3. On admet que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. En déduire la contenance des deux bassins A et B qui est à prévoir pour la faisabilité du projet, c'est-à-dire pour éviter tout débordement.
   D’après les deux résultats précédents, il faut donc prévoir un bassin A de $1~000$ litres et un bassin B de $400$ litres.
   $\quad$

Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la ,station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
   1. 0,560
   2. 0,25
   3. 1
   4. 0,103
2. L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ cm et d'écart-type inconnu. On sait que $P(X \geqslant 200) = 0,025$. Quelle est la probabilité $P ( X \geqslant 100)$ ?
   
   1. On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l'énoncé.
   2. 0,025
   3. 0,95
   4. 0,975
3. Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$~ans. Ainsi $E(T) = 5$. La probabilité $P(T \geqslant 5)$ est égale à :
   
   1. 0,5
   2. $1 - \text{e}^{-1}$
   3. $\text{e}^{-1}$
   4. $\text{e}^{- 25}$
4. L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$. Le nombre de clients à interroger est :
   
   1. 50
   2. 2500
   3. 25
   4. 625

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski.
Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Une étude statistique a établi qu'un client sur quatre pratique le surf. Dans une télécabine accueillant $80$ clients de la ,station, la probabilité arrondie au millième qu'il y ait exactement 20 clients pratiquant le surf est :
   1. 0,560
   2. 0,25
   3. 1
   4. 0,103
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients pratiquant le surf.

On effectue $80$ tirages aléatoires, indépendants, identiques. À chaque tirage il y a deux issues :

– $S$ : “le client pratique le surf”;

– $\overline{S}$ : “le client ne pratique pas le surf”.

De plus $p(S)=0,25$

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,25$.

Par conséquent :

$P(X=20)=\displaystyle \binom{80}{20}\times 0,25^{20}\times 0,75^{60}\approx 0,103$

Réponse d

1. L'épaisseur maximale d'une avalanche, exprimée en centimètre, peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 150$ cm et d'écart-type inconnu. On sait que $P(X \geqslant 200) = 0,025$. Quelle est la probabilité $P ( X \geqslant 100)$ ?
   
   1. On ne peut pas répondre car il manque des éléments dans l'énoncé.
   2. 0,025
   3. 0,95
   4. 0,975
On a $P(X\geq 200)=P(X\geq 150+50)=0,025$

Donc $P(X\leq 150-50)=0,025$ soit $P(X\leq 100)=0,025$.

Ainsi $P(X\geq 100)=1-0,025=0,975$.

Réponse d

1. Dans un couloir neigeux, on modélise l'intervalle de temps séparant deux avalanches successives, appelé temps d'occurrence d'une avalanche, exprimé en année, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. On a établi qu'une avalanche se déclenche en moyenne tous les $5$~ans. Ainsi $E(T) = 5$. La probabilité $P(T \geqslant 5)$ est égale à :
   
   1. 0,5
   2. $1 - \text{e}^{-1}$
   3. $\text{e}^{-1}$
   4. $\text{e}^{- 25}$
$E(T)=5$ par conséquent la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=\dfrac{1}{5}=0,2$.

Ainsi $P(T\geq 5)=\text{e}^{-0,2\times 5}=\text{e}^{-1}$

Réponse c

1. L'office de tourisme souhaite effectuer un sondage pour estimer la proportion de clients satisfaits des prestations offertes dans la station de ski. Pour cela, il utilise un intervalle de confiance de longueur 0,04 avec un niveau de confiance de $0,95$. Le nombre de clients à interroger est :
   
   1. 50
   2. 2500
   3. 25
   4. 625
L’amplitude d’un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est :

$a=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,04 \iff \sqrt{n}=\dfrac{2}{0,04}$.

Donc $\sqrt{n}=50$ et $n=2~500$.

Réponse b

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: \[u_{n+1} = (n + 1) u_n - 1.\]

Partie A

1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$.
2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. $$ \begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Pour } N \text{allant de 1 à 12 }\\ \hspace{1cm} U \gets \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array} $$
3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. Voici les valeurs obtenues. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Pour } u_1 = 0,7 & \text{ Pour } u_1 = 0,8 \\ \hline 0,4 & 0,6 \\ 0,2 & 0,8\\ - 0,2 & 2,2 \\ - 2 &10\\ - 13 &59\\ - 92 &412 \\ - 737 & 3295 \\ -6634 & 29654 \\ -66341 & 296539 \\ -729752 & 3261928 \\ -8757025 & 39143135 \\ -113841326 & 508860754 \\ \hline \end{array} $$ Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : \[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$.

1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(- 1 - x)\text{e}^{1 - x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$.
2. En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$.
3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
4. 1. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant x^n \text{e}$.
   2. Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   4. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$.

Partie C

Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1 2!$ =2 \times 1$ et si $n \geqslant 3$ : $n$! $= n \times (n-1) \times \ldots \times 1$ On a ainsi par exemple 3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$! 4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$! 8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$! Et, plus généralement : \[(n+1)\text{!} = (n+1) \times n\text{!}\]

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[ u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\]
2. On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$.
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
   2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.

Correction de l'exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par la relation: \[u_{n+1} = (n + 1) u_n - 1.\]

Partie A

1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si $u_1 = 0$ alors $u_4 = - 17$.
Si $u_1=0$ alors :

$u_2=(1+1)\times u_1-1=2\times 0-1=-1$

$u_3=(2+1)\times u_2-1=3\times (-1)-1=-4$

$u_4=(3+1)\times u_3-1=4\times (-4)-1=-17$

$\quad$
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $U$ une valeur de $u_1$ il calcule les termes de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_2$ à $u_{13}$. $$ \begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Pour } N \text{allant de 1 à 12 }\\ \hspace{1cm} U \gets \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array} $$
On a l’algorithme suivant :

$$ \begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Pour } N \text{allant de 1 à 12 }\\ \hspace{1cm} U\gets (N+1)\times U-1 \\ \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array} $$
1. On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0,7$ puis pour $u_1 = 0,8$. Voici les valeurs obtenues. $$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ Pour } u_1 = 0,7 & \text{ Pour } u_1 = 0,8 \\ \hline 0,4 & 0,6 \\ 0,2 & 0,8\\ - 0,2 & 2,2 \\ - 2 &10\\ - 13 &59\\ - 92 &412 \\ - 737 & 3295 \\ -6634 & 29654 \\ -66341 & 296539 \\ -729752 & 3261928 \\ -8757025 & 39143135 \\ -113841326 & 508860754 \\ \hline \end{array} $$ Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0,7$ ? Et si $u_1 = 0,8$ ?
Si $u_1=0,7$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $-\infty$.

Si $u_1=0,8$ alors il semblerait que la limite de cette suite soit $+\infty$.

$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, par : \[I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\] On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c'est-à-dire que e $= \text{e}^1$.

1. Prouver que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $F(x)=(- 1 - x)\text{e}^{1 - x}$ est une primitive sur l'intervalle [0~;~1] de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x \text{e}^{1 - x}$.
On calcule $F'(x)$ et on vérifie que $F'(x)=f(x)$.
2. En déduire que $I_1 = \text{e} - 2$.
On a :

$$\begin{array}{rl} \displaystyle I_1&=\int_0^1 x\text{e}^{1-x}\text{d}x \\ & =F(1)-F(0)\\ & =-2-(-1)\text{e}^1 \\ & =\text{e}-2 \end{array}$$

$\quad$
1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\] Utiliser cette formule pour calculer $I_2$.
On a $I_1=\text{e}-2$ et

$I_2=(1+1)I_1-1=2(\text{e}-2)-1=2\text{e}-5$

$\quad$
1. 1. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant x^n \text{e}^{1-x} \leqslant x^n \text{e}$.
   On a $0\leq x\leq 1$ donc $-1\leq x \leq 0$ et $0\leq 1-x\leq 1$
   
   
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$.
   
   
   Ainsi $\text{e}^0\leq \text{e}^{1-x}\leq \text{e}^1$
   
   
   Donc $1\leq \text{e}^{1-x} \leq \text{e}$
   
   
   En multipliant chaque terme de ces inégalités par $x^n$, réel positif, on obtient, pour tout entier naturel $n$ :
   
   
   $x^n\leq x^n\text{e}^{1-x}\leq x^n\text{e}$.
   
   
   Puisque $x\in [0;1]$ on a également $x^n\in [0;1]$ en particulier $x^n\geq 0$.
   
   
   Par conséquent $0\leq x^n\text{e}^{1-x}\leq x^n\text{e}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Justifier que : $\displaystyle\int_0^1 x^n\text{e}\:\text{d}x = \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   On a, pour tout entier naturel $n$ :
   
   
   $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_0^1 x^n\text{e} \text{d}x &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\text{e}\right]_0^1 \\ &= \dfrac{1^{n+1}}{n+1}\text{e}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}\text{e}\\ &=\dfrac{\text{e}}{n+1} \end{array}$$
   
   
   1. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{e}}{n+ 1}$.
   On intègre sur l’intervalle $[0;1]$ l’inégalité obtenue à la question
   4.a.
   
   Ainsi :
   
   
   $\displaystyle \int_0^1 0\text{d}x \leq \int_0^1 x^n\text{e}^{1-x}\text{d}x \leq \int_0^1 x^n\text{e} \text{d}x $
   
   
   Par conséquent $0\leq I_n\leq \dfrac{\text{e}}{n+1}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n$.
   On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\text{e}}{n+1}=0$ et $0\leq I_n\leq \dfrac{\text{e}}{n+1}$.
   
   
   D’après le théorème des gendarmes, on a alors $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
   
   
   $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on note $n$! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1!=1
2!$ =2 \times 1$ et si $n \geqslant 3$ : $n$! $= n \times (n-1) \times \ldots \times 1$
On a ainsi par exemple 3! $= 3\times 2\times 1 = 3\times(2 \times 1) = 3\times 2$!
4! $= 4\times 3\times 2\times 1 = 4\times (3\times 2\times 1) = 4\times 3$!
8! $= 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 8\times(7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1) = 8\times 7$!
Et, plus généralement : \[(n+1)\text{!} = (n+1) \times n\text{!}\]

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n =n\text{!}\left(u_1 - \text{e} + 2\right)+ I_n.\] On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[ u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1\quad \text{ et } I_{n+1} = (n+1)I_{n} - 1.\]

Initialisation :

Si $n=1$ on a :

$1!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_1=u_1-\text{e}+2+\text{e}-2=u_1$.

La propriété est vraie au rang $1$.

$\quad$

Hérédité :

Supposons la propriété vraie au rang $n$ où $n$ est un entier naturel non nul. On a alors $u_n=n!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_n$.

Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire $u_{n+1}=(n+1)!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_{n+1}$.

$$\begin{array}{rl} u_{n+1}&=(n+1)u_n-1 \\ &=(n+1)n!\left(u_1-\text{e}+2\right)+(n+1)I_n-1\\ & =(n+1)!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_{n+1} \end{array}$$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

$\quad$

Conclusion :

La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=n!\left(u_1-\text{e}+2\right)+I_n$.

$\quad$
1. On admet que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n\text{!} = + \infty$.
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,7$.
   Si $u_1=0,7$ alors $u_1-\text{e}+2\approx -0,018<0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\text{e}+2\right)=-\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 0=0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $u_1 = 0,8$.
   Si $u_1=0,8$ alors $u_1-\text{e}+2\approx 0,082>0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} n!\left(u_1-\text{e}+2\right)=+\infty$. De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 0=0$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
   
   
   $\quad$

Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d'affixes 1, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés. Sur le graphique fourni en annexe, le point A a pour affixe 1.

Partie A: étude d'exemples

1. Un premier exemple
   Dans cette question, on pose $z = \text{i}$.
   1. Donner la forme algébrique des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
   2. Placer les points $N_1$ d'affixe $z^2$, et $P_1$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans ce cas les points A, $N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
2. Une équation
   Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue $z$ : $z^2 + z + 1 = 0$.
3. Un deuxième exemple
   Dans cette question, on pose : $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   1. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
   2. Placer les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans, ce cas les points A, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.

Partie B

Soit $z$ un nombre complexe non nul. On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

1. Établir que, pour tout nombre complexe différent de $0$, on a : \[z^2 - \dfrac{1}{z} = \left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right).\]
2. On rappelle que si, $\vec{U}$ est un vecteur non nul et $\vec{V}$ un vecteur d’affixes respectives $z_{\vec{U}}$ et $z_{\vec{V}}$, les vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vec{V}} = k z_{\vec{U}}$. En déduire que, pour $z \ne 0$, les points A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est un réel.
3. On pose $z = x+ \text{i}y$, où $x$ et $y$ désignent des nombres réels. Justifier que : $z^2 + z + 1 = x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$.
4. 1. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \ne 0$ tels que les points A, $N$ et $P$ soient alignés.
   2. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
   

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes $z$ non nuls tels que les points d'affixes 1, $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$ soient alignés. Sur le graphique fourni en annexe, le point A a pour affixe 1.

Partie A: étude d'exemples

1. Un premier exemple
   Dans cette question, on pose $z = \text{i}$.
   1. Donner la forme algébrique des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
   $z^2=\text{i} ^2=-1$
   
   
   $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\text{i} }=\dfrac{1}{\text{i} }\times \dfrac{\text{i} }{\text{i} }=\dfrac{\text{i} }{-1}=-\text{i} $.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Placer les points $N_1$ d'affixe $z^2$, et $P_1$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans ce cas les points A, $N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
   
   
   L’affixe du vecteur $\vec{AN_1}$ est $z_{\vec{AN_1}}=-2$ et celle du vecteur $\vec{AP_1}$ est $z_{\vec{AP_1}}=-\text{i} -1$.
   
   
   Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires et les points $A, N_1$ et $P_1$ ne sont pas alignés.
   
   
   $\quad$
2. Une équation
   Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d’inconnue $z$ : $z^2 + z + 1 = 0$.
On a l’équation $z^2+z+1=0$

$\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.

Les solutions de cette équation sont donc $z_1=\dfrac{-1-\text{i} \sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\dfrac{-1+\text{i} \sqrt{3}}{2}$.

$\quad$
1. Un deuxième exemple
   Dans cette question, on pose : $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   1. Déterminer la forme exponentielle de $z$, puis celles des nombres complexes $z^2$ et $\dfrac{1}{z}$.
   On a $|z|=\left|-\dfrac{1}{2}+\text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|=1$
   
   
   Donc $z=\text{e}^{2\text{i} \pi/3} $
   
   
   $\quad$
   
   
   Ainsi $z^2=\text{e}^{2\times 2\text{i} \pi/3}=\text{e}^{4\text{i} \pi/3}$
   
   
   et $\dfrac{1}{z}=\text{e}^{-2\text{i} \pi/3}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Placer les points $N_2$ d'affixe $z^2$ et $P_2$, d’affixe $\dfrac{1}{z}$ sur le graphique donné en annexe. On remarque que dans, ce cas les points A, $N_2$ et $P_2$ sont alignés.
   On obtient le graphique suivant :
   
   
   
   $\quad$
   
   
   $z^2=\text{e}^{4\text{i} \pi/3}=\text{e}^{4\text{i} \pi/3-2\pi}=\text{e}^{-2\text{i} \pi/3}=\dfrac{1}{z}$.
   
   
   Les points $N_2$ et $P_2$ sont confondus.
   
   
   Par conséquent, les points $A, N_2$ et $P_2$ sont alignés.
   
   
   $\quad$

Partie B

Soit $z$ un nombre complexe non nul. On note $N$ le point d’affixe $z^2$ et $P$ le point d’affixe $\dfrac{1}{z}$.

1. Établir que, pour tout nombre complexe différent de $0$, on a : \[z^2 - \dfrac{1}{z} = \left(z^2 + z + 1 \right)\left(1 - \dfrac{1}{z} \right).\]
Pour tout nombre $z$ différent de $0$ on a :

$\begin{align*} \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) &=z^2-z+z-1+1-\dfrac{1}{z} \\

&=z^2-\dfrac{1}{z}\end{align*}$

$\quad$
1. On rappelle que si, $\vec{U}$ est un vecteur non nul et $\vec{V}$ un vecteur d’affixes respectives $z_{\vec{U}}$ et $z_{\vec{V}}$, les vecteurs $\vec{U}$ et $\vec{V}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que $z_{\vec{V}} = k z_{\vec{U}}$. En déduire que, pour $z \ne 0$, les points A, $N$ et $P$ définis ci-dessus sont alignés si et seulement si $z^2 + z + 1$ est un réel.
On considère un nombre complexe $z$ non nul.

L’affixe du vecteur $\vec{PN}$ est $z^2-\dfrac{1}{z}$.

L’affixe du vecteur $\vec{PA}$ est $1-\dfrac{1}{z}$.

Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $z^2-\dfrac{1}{z}=k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$.

$\iff \left(z^2+z+1\right)\left(1-\dfrac{1}{z}\right) =k\left(1-\dfrac{1}{z}\right)$

$\iff z^2+z+1=k$ ou $z=1$

$\iff z^2+z+1\in \mathbb R$ ou $z=1$

$\iff z^2+z+1\in \mathbb R$ (en effet si $z=1$ alors $z^2+z+1=3 \in \mathbb R)$.

$\quad$
1. On pose $z = x+ \text{i}y$, où $x$ et $y$ désignent des nombres réels. Justifier que : $z^2 + z + 1 = x^2 - y^2 + x + 1 + \text{i} (2xy + y)$.
Soient $x$ et $y$ des nombres réels et $z=x+\text{i} y$.

$\begin{align*} z^2+z+1&=(x+\text{i} y)^2+x+\text{i} y+1 \\

&=x^2+2\text{i} xy-y^2+x+\text{i} y+1\\

&=x^2-y^2+x+1+\text{i} (2xy+y)\end{align*}$

$\quad$
1. 1. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z \ne 0$ tels que les points A, $N$ et $P$ soient alignés.
   $z^2+z+1$ est un réel si, et seulement si, $2xy+y=0$
   
   
   si, et seulement si, $y(2x+1)=0$
   
   
   si, et seulement si, $y=0$ ou $2x+1=0$
   
   
   si, et seulement si, $y=0$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$
   
   
   Parmi cet ensemble de solutions, cherchons celles qui annulent également la partie réelle.
   
   
   – Si $y=0$ alors on cherche les solutions de l’équation $x^2+x+1=0$. D’après la question
   A.2.
   elle ne possède pas de solution réelle.
   
   
   – Si $x=-\dfrac{1}{2}$ alors on cherche les solutions de l’équation $\dfrac{1}{4}-y^2-\dfrac{1}{2}+1=0$ soit $y^2=\dfrac{3}{4}$. Cette équation possède deux solutions : $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   
   
   Ainsi l’ensemble cherché la réunion des droites d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) et $x=-\dfrac{1}{2}$ privé des points  $B$ et $C$ de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
   
   
   1. Tracer cet ensemble de points sur le graphique donné en annexe.
   

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. Les points P, Q et R sont définis par : \[\vec{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{AB}},\: \vec{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{AE}} \: \text{et}\: \vec{\text{HR}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{HE}}.\] Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},\vec{k}\right)$ avec : \[\vec{\imath} = \dfrac{1}{6}\vec{\text{AB}},\: \vec{\jmath} = \dfrac{1}{6}\vec{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \vec{k} =\dfrac{1}{6}\vec{\text{AE}}.\] Dans ce repère, on a par exemple: \[\text{B}(6~;~0~;~0), \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\:\: \text{R}(0~;~4~;~6).\]

1. 1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et $\Omega$.
   2. Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vec{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan (PQR) .
   3. En déduire qu'une équation du plan (PQR) est : $x - y+ z - 2 = 0$.
2. 1. On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point $\Omega$, centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   2. En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
   3. Calculer la distance $\Omega I$
3. On considère les points J$(6~;~4~;~0)$ et K$(6~;~6~;~2)$.
   1. Justifier que le point J appartient au plan (PQR).
   2. Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
   3. Sur la figure donnée en annexe, tracer la section du cube par le plan (PQR). On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
      

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans l'espace, on considère un cube ABCDEFGH de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. Les points P, Q et R sont définis par : \[\vec{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{AB}},\: \vec{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{AE}} \: \text{et}\: \vec{\text{HR}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{HE}}.\] Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},\vec{k}\right)$ avec : \[\vec{\imath} = \dfrac{1}{6}\vec{\text{AB}},\: \vec{\jmath} = \dfrac{1}{6}\vec{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \vec{k} =\dfrac{1}{6}\vec{\text{AE}}.\] Dans ce repère, on a par exemple: \[\text{B}(6~;~0~;~0), \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\:\: \text{R}(0~;~4~;~6).\]

1. 1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points P, Q et $\Omega$.
   On a $P(2;0;0)$, $Q(0;0;2)$ et $\Omega(3;3;3)$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vec{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan (PQR) .
   On a $\vec{PQ}(-2;0;2)$, $R(0;4;6)$ et $\vec{PR}(-2;4;6)$.
   
   
   Si le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(PQR)$ on a alors :
   
   
   $\vec{n}.\vec{PQ}=0 \iff -2+0+2c=0 \iff c=1$ et
   
   
   $\vec{n}.\vec{PR}=0 \iff -2+4b+6c=0 \iff -2+4b+6=0\iff b=-1$.
   
   
   $\quad$
   
   
   Conclusion : Le vecteur $\vec{n}(1;-1;1)$ est normal au plan $(PQR)$.
   1. En déduire qu'une équation du plan (PQR) est : $x - y+ z - 2 = 0$.
   Le vecteur $\vec{n}(1;-1;1)$ est normal au plan $(PQR)$. Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $x-y+z+d=0$
   
   
   Le point $P(2;0;0)$ appartient au plan.
   
   
   Donc $2-0+0+d=0 \iff d=-2$
   
   
   Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est donc $x-y+z-2=0$.
   
   
   $\quad$
2. 1. On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan (PQR) passant par le point $\Omega$, centre du cube. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   
   
   Une représentation paramétrique de cette droite est donc $$\begin{cases} x=t+3\\y=-t+3\\z=t+3\end{cases} \quad, t\in\mathbb R$$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan (PQR) au point I de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
   Par définition, le plan $(PQR)$ et la droite $\Delta$ sont sécants. Montrons que le point $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient à la fois à la droite et au plan.
   
   
   Si $t=-\dfrac{1}{3}$ alors : $\begin{cases} x=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{10}{3}\\z=-\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{8}{3}\end{cases}$.
   
   
   Donc $I\in \Delta$
   
   
   $\quad$
   
   
   $\begin{align*} &\dfrac{8}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{8}{3}-2\\
   
   
   &=\dfrac{6}{3}-2 \\
   
   
   &=0\end{align*}$
   
   
   Le point $I$ appartient également au plan $(PQR)$.
   
   
   Par conséquent, le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(PQR)$ est $I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{10}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
   
   
   1. Calculer la distance $\OmegaI$
   $\Omega I^2=\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}-3\right)^2=\dfrac{1}{3}$
   
   
   Par conséquent $\Omega I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   
   
   $\quad$
3. On considère les points J$(6~;~4~;~0)$ et K$(6~;~6~;~2)$.
   1. Justifier que le point J appartient au plan (PQR).
   $x_J - y_J+ z_J - 2=6-4+0-2=6-6=0$ donc $J\in (PQR)$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Vérifier que les droites (JK) et (QR) sont parallèles.
   On a$\vec{JK}(0;2;2)$ et $\vec{QR}(0;4;4)$
   
   
   Ainsi $\vec{QR}=2\vec{JK}$
   
   
   Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont donc parallèles.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Sur la figure donnée en annexe, tracer la section du cube par le plan (PQR). On laissera apparents les traits de construction, ou bien on expliquera la démarche.
      
   On place le point $J(6;4;0)$ (on reporte la distance $HR$ à partir de $C$).
   
   
   On trace la parallèle à la droite $(QR)$ passant par $J$. Elle coupe la droite $(GC)$ en $K$.
   
   
   On trace la parallèle à la droite $(PJ)$ passant par $R$. Elle coupe la droite $(HG)$ en $S$.
   
   
   
   
   Pour terminer une figure interactive avec GeoGebra :
   
   

    

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40.

Partie A :

Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes

1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$.
2. On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. Résoudre cette équation.
3. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   1. Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers.
   2. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la même parité.
   3. Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.

Partie B : « sommes» de cubes

Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.
Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. Par exemple : \[13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3\] \[13 = - 1^3 - 1^3 - 1^3 + 2^3 + 2^3\] \[13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3\] Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « sommes» de cubes à la place de « sommes ou différence de cubes d'entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en « somme» de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en « somme» de 4 cubes.

1. 1. En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en « somme » de 5 cubes.
   2. On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3\] En déduire une décomposition de $4$8 en « somme» de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en « somme» de 5 cubes, différente de celle donnée en 1. a.)
2. Le nombre 40 est une « somme» de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. On veut savoir si 40 peut être décomposé en « somme» de 3 cubes.
   1. Recopier et compléter sans justifier:
      $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 9 & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de } n^3 \text{ par } 9&&&&&1&&&&\\ \hline \end{array}$$
   2. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en « somme» de 3 cubes.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le but de cet exercice est d'envisager plusieurs décompositions arithmétiques du nombre 40.

Partie A :

Les questions $1.$, $2.$ et $3.$ sont indépendantes

1. Sans justifier, donner deux nombres premiers $x$, et $y$ tels que $40 = x + y$.
On a $29+11=40$ et les nombres $29$ et $11$ sont deux nombres premiers.

$\quad$
1. On considère l'équation $20x + 19 y = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux, entiers relatifs. Résoudre cette équation.
On a $20\times 2+19\times 0=40$. Le couple $(2;0)$ est donc solution de l’équation $20x+19y=40$.

On considère un couple solution $(x;y)$ de cette même équation.

Ainsi $20\times 2+19\times 0=40$ et $20x+19y=40$.

Par différence on a $20 (2-x)+19(-y)=0$.

Soit $20(2-x)=19y$.

$19$ et $20$ sont premiers entre eux.

D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que $y=20k$ et $2-x=19k$

Soit $x=2-19k$ et $y=20k$.

$\quad$

Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.

$20(2-19k)+19\times 20k=40-380k+380k=40$.

Ainsi la solution de l’équation $(20x+19y=40$ est l’ensemble des couples $(2-19k;20k)$ pour $k\in \mathbb Z$.

$\quad$
1. Le nombre $40$ est une somme de deux carrés puisque : $40 = 2^2 + 6^2$. On veut savoir si 40, est aussi différence de deux carrés, autrement dit s’intéresser à l'équation $x^2 - y^2 = 40$, où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   1. Donner la décomposition de 40 en produit de facteurs premiers.
   $40=8\times 5=2^3\times 5$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que, si $x$ et $y$ désignent des entiers naturels, les nombres $x- y$ et $x+ y$ ont la même parité.
   Supposons que $x-y$ soit pair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k$.
   
   
   $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+x+y=2x$.
   
   
   Par conséquent $x+y=2(x-k)$ et $x+y$ est pair.
   
   
   $\quad$
   
   
   Supposons maintenant que $x-y$ soit impair. Il existe alors un entier relatif $k$ tel que $x-y=2k+1$.
   
   
   $(x-y)+(x+y)=2x$ soit $2k+1+x+y=2x$.
   
   
   Par conséquent $x+y=2(x-k)-1$ et $x+y$ est impair.
   
   
   $\quad$
   
   
   $x+y$ et $x-y$ ont donc la même parité.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer toutes les solutions de l'équation $x^2 - y^2 = 40$ où $x$ et $y$ désignent deux entiers naturels.
   $x^2-y^2=40\iff (x+y)(x-y)=2^3\times 5$.
   
   
   Puisque $5$ et $2^3$ n’ont pas la même parité, on ne peut pas avoir $x+y=5$ et $x-y=2^3$ ou $x+y=2^3$ et $x-y=5$.
   
   
   Pour la même raison, on ne peut pas avoir $x+y=1$ et $x-y=40$ ou $x+y=40$ et $x-y=1$.
   
   
   Les seules possibilités pour les couples $(x+y;x-y)$ sont donc $(4;10)$, $(10;4)$, $(2;20)$ et $(20;2)$.
   
   
   $\begin{cases}x+y=4\\x-y=10\end{cases} \iff \begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}$
   
   
   $\begin{cases}x+y=10\\x-y=4\end{cases} \iff \begin{cases} x=7\\y=3\end{cases}$
   
   
   $\begin{cases} x+y=2\\x-y=20\end{cases} \iff \begin{cases} x=11\\y=-9\end{cases}$
   
   
   $\begin{cases} x+y=20\\x-y=2\end{cases}\iff \begin{cases} x=11\\y=9\end{cases}$
   
   
   $x$ et $y$ devant être des entiers naturels, les solutions de l’équation $x^2-y^2=40$ sont donc les couples $(7;3)$ et $(11;9)$.
   
   
   $\quad$

Partie B : « sommes» de cubes

Les questions $1.$ et $2.$ sont indépendantes.
Certains nombres entiers peuvent se décomposer en somme ou différence de cubes d'entiers naturels. Par exemple : \[13 = 4^3 + 7^3 + 7^3 - 9^3 - 2^3\] \[13 = - 1^3 - 1^3 - 1^3 + 2^3 + 2^3\] \[13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3\] Dans tout ce qui suit, on écrira pour simplifier « sommes» de cubes à la place de « sommes ou différence de cubes d'entiers naturels ». Les deux premiers exemples montrent que 13 peut se décomposer en « somme» de 5 cubes. Le troisième exemple montre que 13 peut se décomposer en « somme» de 4 cubes.

1. 1. En utilisant l'égalité $13 = 1^3 + 7^3 + 10^3 - 11^3$, donner une décomposition de 40 en « somme » de 5 cubes.
   $40=27+13=3^3+1^3+7^3+10^3-11^3$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[6n = (n+1)^3 + (n - 1)^3 - n^3 - n^3\] En déduire une décomposition de $4$8 en « somme» de 4 cubes, puis une décomposition de 40 en « somme» de 5 cubes, différente de celle donnée en 1. a.)
   On a
   
   
   $\begin{align*} 48&=6\times 8 \\
   
   
   &=(8+1)^3+(8-1)^3-8^3-8^3\\
   
   
   &=9^3+7^3-8^3-8^3\end{align*}$
   
   
   $\quad$
   
   
   Or $40=48-8=9^3+7^3-8^3-8^3-2^3$
   
   
   $\quad$
2. Le nombre 40 est une « somme» de 4 cubes : $40 = 4^3 - 2^3 - 2^3 - 2^3$. On veut savoir si 40 peut être décomposé en « somme» de 3 cubes.
   1. Recopier et compléter sans justifier:
      $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 9 & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de } n^3 \text{ par } 9&&&&&1&&&&\\ \hline \end{array}$$
   On a :
   
   
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 9 & 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline \text{ Reste de la division euclidienne de } n^3 \text{ par } 9& 0 &1 & 8& 0 &1 & 8 &0 &1 & 8\\ \hline \end{array}$$ $\quad$
   
   
   1. On déduit du tableau précédent que, pour tout entier naturel $n$, l'entier naturel $n^3$ est congru modulo 9 soit à 0, soit à 1, soit à $-1$. Prouver que 40 ne peut pas être décomposé en « somme» de 3 cubes.
   Or $8\equiv -1~[9]$ donc, pour tout entier naturel $n$ on a $n^3$ est congru modulo $9$ soit à $0$, soit à $1$ soit à $-1$.
   
   
   Par conséquent, la somme de $3$ cubes est congrue modulo $9$ appartient à $\left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.
   
   
   Mais $40\equiv 4~[9]$.
   
   
   Donc $40$ ne peut pas être décomposé en « somme »de $3$ cubes.
   
   
   $\quad$

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.
Une usine fabrique des tubes.

Partie A

Les questions 1. et 2 . sont indépendantes.
On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètre et $1,65$ millimètre.
   1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $0,07$.
      On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
   2. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $\sigma_1$.
      Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1 - 1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298~;~302]$. Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, une proportion de 2% de tubes non « conformes pour la longueur» est acceptable.
   On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non « conformes pour la longueur» .
   1. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$ % de la fréquence des tubes non « conformes pour la longueur» dans un échantillon de $250$ tubes.
   2. Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.

Partie B

Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l'épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que :

• 96% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme;
• parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95% ont une longueur conforme;
• 3,6% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :

• $E$ : « l'épaisseur du tube est conforme» ;
• $L$ : « la longueur du tube est conforme» .

On modélise l'expérience aléatoire par un arbre pondéré :

1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.
2. Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à 0,948.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.
Une usine fabrique des tubes.

Partie A

Les questions 1. et 2 . sont indépendantes.
On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

1. Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre $1,35$ millimètre et $1,65$ millimètre.
   1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur exprimée en millimètres. On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $0,07$.
      On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.
   On veut calculer $P(1,35\leq X\leq 1,65)$.
   D’après la calculatrice on trouve $P(1,35\leq X\leq 1,65)\approx 0,968$.
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   2. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1. Pour cela, on modifie le réglage des machines produisant ces tubes. On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modifiée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi normale d'espérance $1,5$ et d'écart-type $\sigma_1$.
      Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la machine modifiée. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_1$ pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à 0,98. (On pourra utiliser la variable aléatoire $Z$ définie par $Z = \dfrac{X_1 - 1,5}{\sigma_1}$ qui suit la loi normale centrée réduite.)
   La variable $Z=\dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}$ suit la loi normale centrée réduite.
   On a
   $\begin{align*} P\left(1,35\leq X_1\leq 1,65\right)=0,98 &\iff P\left(-0,15 \leq X_1-1,5\leq 0,15\right)=0,98 \\
   &\iff P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \leq \dfrac{X_1-1,5}{\sigma_1}\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
   &\iff P\left(-\dfrac{0,15}{\sigma_1} \leq Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,98 \\
   &\iff 2P\left(Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)-1=0,98\quad\text{(propriété du cours)}\\
   &\iff 2P\left(Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=1,98 \\
   &\iff P\left(Z\leq \dfrac{0,15}{\sigma_1}\right)=0,99\end{align*}$
   À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $\dfrac{0,15}{\sigma_1} \approx 2,326$ et donc $\sigma_1 \approx 0,064$.
   $\quad$

Partie B

Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter l'épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que :

• 96% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme;
• parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95% ont une longueur conforme;
• 3,6% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.

On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les événements :

• $E$ : « l'épaisseur du tube est conforme» ;
• $L$ : « la longueur du tube est conforme» .

On modélise l'expérience aléatoire par un arbre pondéré :

1. Recopier et compléter entièrement cet arbre.


2. Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à 0,948.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)&=P(E\cap L)+P\left(\overline{E}\cap L\right) \\
&=0,96\times 0,95+0,036 \\
&=0,948\end{align*}$
$\quad$

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation 1 : L'équation $z - \text{i} = \text{i}(z + 1)$ a pour solution $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
2. Affirmation 2 : Pour tout réel $x \in \left] -\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$, le nombre complexe $1 + \text{e}^{2\text{i} x}$ admet pour forme exponentielle $2 \cos x \text{e}^{-\text{i}x}$.
3. Affirmation 3 : Un point M d'affixe $z$ tel que $\big|z - \text{i}\big| = \big|z + 1\big|$ appartient à la droite d'équation $y = -x$.
4. Affirmation 4 : L'équation $z^5 + z - \text{i} + 1 = 0$ admet une solution réelle.

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation 1 : L'équation $z - \text{i} = \text{i}(z + 1)$ a pour solution $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
Affirmation 1 fausse

$\begin{align*} z-\text{i}=i(z+1)&\iff z-\text{i}=\text{i} z+\text{i} \\
&\iff z-\text{i} z=2\text{i} \\
&\iff z(1-\text{i})=2\text{i} \\
&\iff z=\dfrac{2\text{i}}{1-\text{i}}\end{align*}$
Or $2\text{i}=2\text{e}^{\text{i} \pi/2}$
et $|1-\text{i}|=\sqrt{2}$ donc $|1-\text{i}|=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i} \pi/4}$
Par conséquent :
$\begin{align*} z-\text{i}=i(z+1)&\iff z=\dfrac{2\text{e}^{\text{i} \pi/2}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i} \pi/4}} \\
&\iff =\sqrt{2}\text{e}^{3\text{i}\pi/4}\end{align*}$
Or $\sqrt{2}\text{e}^{3\text{i}\pi/4}\neq \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}$.

$\quad$

2. Affirmation 2 : Pour tout réel $x \in \left] -\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2} \right[$, le nombre complexe $1 + \text{e}^{2\text{i} x}$ admet pour forme exponentielle $2 \cos x \text{e}^{-\text{i}x}$.

Affirmation 2 fausse

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a :
$\begin{align*} 2\cos x\text{e}^{-\text{i} x}&=2\times \dfrac{\text{e}^{\text{i} x}+\text{e}^{-\text{i} x}}{2}\times \text{e}^{-\text{i} x} \\
&=1+\text{e}^{-2\text{i} x} \\
&=\overline{1+\text{e}^{2\text{i} x}}  \end{align*}$

Or , sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a $1+\text{e}^{2\text{i} x} \neq \overline{1+\text{e}^{2\text{i} x}} $ sauf si $x=0$ (seule valeur pour laquelle l’exponentielle complexe est un réel).

$\quad$

3. Affirmation 3 : Un point M d'affixe $z$ tel que $\big|z - \text{i}\big| = \big|z + 1\big|$ appartient à la droite d'équation $y = -x$.

Affirmation 3 vraie

On appelle $A$ le point d’affixe $\text{i}$ et $B$ le point d’affixe $-1$.
Ainsi : $|z-\text{i}|=|z+1|\iff AM=BM$
Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$.
On appelle $D$ le point d’affixe $-1+\text{i}$.
Ainsi le quadrilatère $OBDA$ est un carré dont les diagonales sont $[OD]$ et $[AB]$.
Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires et une équation de la droite $(OD)$ est $y=-x$.
Par conséquent le point $M$ appartient à la droite d’équation $y=-x$.

$\quad$

4. Affirmation 4 : L'équation $z^5 + z - \text{i} + 1 = 0$ admet une solution réelle.

Affirmation 4 fausse

Supposons que l’équation $z^5+z-\text{i}+1=0$ possède une solution réelle $z_0$.
On a alors ${z_0}^5+z_0+1=\text{i}$
Cela signifie que $\text{i}$ est un réel ce qui est absurde. La supposition faite est donc impossible.

$\quad$

 

Exercice 3 6 points

Fonctions et Suites

Partie A : établir une inégalité

Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
2. En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[, \quad \ln(x + 1) \leqslant x$.

Partie B : application à l'étude d'une suite

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
2. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \geqslant 0$.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \leqslant 1 $.
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
3. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la Partie A . En déduire la valeur de $\ell$.
4. 1. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Fonctions et Suites

Partie A : établir une inégalité

Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
i>La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a :
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$
Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $x\geq 0$ et $x+1>0$.
Par conséquent $f(x)\geq 0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
$\quad$
2. En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[, \quad \ln(x + 1) \leqslant x$.
De plus $f(0)=0-\ln(1)=0$.
Pour tout réel $x\in [0;+\infty[$ on a, d’après la question précédente :  $0\leq f(0)\leq f(x)$
Donc $0\leq x-\ln(x+1) \iff \ln(x+1)\leq x$.
$\quad$

Partie B : application à l'étude d'une suite

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.
On a $u_1=1-\ln(2)$
et $u_2=1-\ln(2)-\ln\left(2-\ln(2)\right)\approx 0,039$.
$\quad$
2. 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \geqslant 0$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1\geq 0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\geq 0$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_n-\ln\left(1+u_n\right) \geq 0$.
   On a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   D’après la question A.2. on sait que pour tout réel $x$ on a $f(x) \geq 0$.
   Puisque $u_n\geq 0$ on a donc $f\left(u_n\right) \geq 0$.
   La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geq 0$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \leqslant 1 $.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_{n+1}-u_n=-\ln\left(1+u_n\right)$
   D’après la question précédente on a $u_n\geq 0$ donc $1+u_n\geq 1$ et $\ln\left(1+u_n\right) \geq 0$.
   Ainsi $u_{n+1}-u_n\leq 0$
   et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$
   La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et $u_0=1$ on a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leq u_0$ soit $u_n\leq 1$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
   La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
   $\quad$
3. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la Partie A . En déduire la valeur de $\ell$.
La limite $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x &\iff x-\ln(1+x)=x \\
&\iff -\ln(1+x)=0 \\
&\iff 1+x=1 \\
&\iff x=0\end{align*}$
Par conséquent $\ell =0$.
$\quad$
4. 1. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
   On peut écrire l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 1 \\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }U\geq 10^{-p} \\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U-\ln(1+U) \\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   
   2. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.
   On a $u_5\approx 3,96\times 10^{-14}$ et $u_6\approx 4,942\times 10^{-17}$.
   Puisque la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, cela signifie  qu’à partir du rang $6$ on a $u_n\leq 10^{-15}$.
   $\quad$
   Remarque : Sur certaines calculatrices(Casio graph75/90, TI83PCE,  en particulier) la calculatrice reste “bloquée” sur environ $4,325\times 10^{-14}$ ou une autre valeur étrange. Pas de soucis avec la Numworks en revanche.
   $\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On relie les centres de chaque face d'un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.


Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}~;~\vec{\text{AD}}~;~\vec{\text{AE}}\right) $ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right) $.

2. 1. Donner les coordonnées des vecteurs $ \vec{\text{NC}} $ et $ \vec{\text{ML}} $.
   2. En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.
   3. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).
3. 1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (NJM) est : $x - y + z = 1 $.
   2. La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justifier.
   3. Montrer que l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On relie les centres de chaque face d'un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

1. Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
Les plans $(ABC)$ et $(KLM)$ sont parallèles.
Les droites $(IN)$ et $(AE)$ sont parallèles et la droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
La droite $(IN)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(KLM)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite $(ML)$.
$\quad$


Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}}~;~\vec{\text{AD}}~;~\vec{\text{AE}}\right) $ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right) $.

2. 1. Donner les coordonnées des vecteurs $ \vec{\text{NC}} $ et $ \vec{\text{ML}} $.
   On a $N(0,5;0,5;1)$ et $C(1;1;0)$
   Le vecteur $\vec{NC}$ a donc pour coordonnées $(0,5;0,5;-1)$.
   On a $M(0,5;0;0,5)$ et $L(0;0,5;0,5)$
   Le vecteur $\vec{ML}$ a donc pour coordonnées $(-0,5;0,5;0)$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.
   On a $\vec{NC}.\vec{ML}=-0,25+0,25+0=0$.
   Par conséquent les vecteurs $\vec{NC}$ et $\vec{ML}$ sont orthogonaux et les droites $(NC)$ et $(ML)$ sont orthogonales.
   $\quad$
   
   3. Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).
   Le vecteur $\vec{ML}$ est donc aux vecteurs $\vec{IN}$ et $\vec{NC}$ qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(NCI)$.
   Une équation cartésienne de ce plan est alors de la forme $-0,5x+0,5y+d=0$.
   Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan.
   Par conséquent $0+0+d=0\iff d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(NCI)$ est donc $-0,5x+0,5y=0$.
   $\quad$
3. 1. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (NJM) est : $x - y + z = 1 $.
   >On a :
   $N(0,5;0,5;1)$ donc $0,5-0,5+1=0+1=1\checkmark$
   $M(0,5;0;0,5)$ donc $0,5-0+0,5=1 \checkmark$
   $J(1;0,5;0,5)$ donc $1-0,5+0,5=1+0=1\checkmark$
   Les coordonnées de ces trois points vérifient l’équation $x-y+z=1$.
   Ainsi une équation cartésienne du plan $(NJM)$ est bien $x-y+z=1$.
   $\quad$
   
   2. La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justifier.
   Un vecteur normal au plan $(NJM)$ est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
   On a $D(0;1;0)$ et $F(1;0;1)$ donc $\vec{DF}(1;-1;1)$
   Ainsi $\vec{n}$ et $\vec{DF}$ sont colinéaires et la droite $(DF)$ est perpendiculaire au plan $(NIM)$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
   On veut résoudre le système suivant :
   $\begin{cases} x-y+z=1\\-0,5x+0,5y=0 \end{cases} \iff \begin{cases} x=y\\x-y+z=1\end{cases} \iff \begin{cases} x=y\\z=1\end{cases}$
   L’intersection des deux plans $(NJM)$ et $(NCI)$ est donc la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1\end{cases} \quad, t\in \mathbb R$.
   Cette droite passe donc par le point de coordonnées $(0;0;1)$ et a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}(1;1;0)$.
   Le point $N$ appartient à ces deux plans et le point $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
   L’intersection des deux plans est donc la droite $(NE)$.
   $\quad$

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} x \equiv x'~[5]\\ y\equiv y'~[5] \end{array} \right.$.
Deux matrices carrées d'ordre 2 $\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} a'&c'\\b'&d' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} a \equiv a'~[5]\\ b\equiv b'~[5] \\c \equiv c'~[5]\\ d\equiv d'~[5] \end{array} \right.$.
Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

• Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
• Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
• Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-contre : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre $\textsf{T}$ d'un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$.
• On calcule une nouvelle matrice $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ à gauche par la matrice M : $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \text{M} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
• On calcule $r'$ et $t'$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x'$ et $y'$ par 5.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline & 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline 0 &\textsf{A} &\textsf{B}& \textsf{C} &\textsf{D} &\textsf{E} \\ \hline 1& \textsf{F} &\textsf{G} &\textsf{H} &\textsf{I}& \textsf{J} \\ \hline 2& \textsf{K} &\textsf{L} &\textsf{M}& \textsf{N}& \textsf{O} \\ \hline 3 & \textsf{P} &\textsf{Q} &\textsf{R} &\textsf{S} &\textsf{T}\\ \hline 4 & \textsf{U} &\textsf{V} &\textsf{X} &\textsf{Y}& \textsf{Z} \\ \hline \end{array}$$ Remarque : la lettre $\textsf{W}$ est remplacée par les deux lettres accolées $\textsf{V}$.

• On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix} r'\\t' \end{pmatrix}$.

1. Bob et Alice choisissent la matrice $\text{M} = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que la lettre « $\textsf{T}$» du message initial est codée par la lettre « $\textsf{U}$» puis coder le message « $\textsf{TE}$» .
   2. On pose $\text{P} = \begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix}$. Montrer que les matrices PM et $\text{I} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   3. On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et $\text{Z} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$, $\text{Z}' =\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.

Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.

1. 1. On note $\text{X}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}$ et $\text{Y} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de « décoder» une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
   2. Décoder alors la lettre « $\textsf{D}$» .
2. On souhaite déterminer si la matrice $\text{R}=\begin{pmatrix} 1&2\\4&3 \end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
   1. On pose $\text{S} = \begin{pmatrix} 2&2\\4&4 \end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   2. On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M).
   3. En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Deux matrices colonnes $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} x \equiv x'~[5]\\ y\equiv y'~[5] \end{array} \right.$.
Deux matrices carrées d'ordre 2 $\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} a'&c'\\b'&d' \end{pmatrix}$ à coefficients entiers sont dites congrues modulo 5 si et seulement si $\left\{\begin{array}{l} a \equiv a'~[5]\\ b\equiv b'~[5] \\c \equiv c'~[5]\\ d\equiv d'~[5] \end{array} \right.$.
Alice et Bob veulent s'échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous.

• Ils choisissent une matrice M carrée d'ordre 2, à coefficients entiers.
• Leur message initial est écrit en lettres majuscules sans accent.
• Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonne $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ déduite du tableau ci-contre : $x$ est le chiffre situé en haut de la colonne et $y$ est le chiffre situé à la gauche de la ligne; par exemple, la lettre $\textsf{T}$ d'un message initial correspond à la matrice colonne $\begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix}$.
• On calcule une nouvelle matrice $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ en multipliant $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ à gauche par la matrice M : $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \text{M} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$.
• On calcule $r'$ et $t'$ les restes respectifs des divisions euclidiennes de $x'$ et $y'$ par 5.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline & 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline 0 &\textsf{A} &\textsf{B}& \textsf{C} &\textsf{D} &\textsf{E} \\ \hline 1& \textsf{F} &\textsf{G} &\textsf{H} &\textsf{I}& \textsf{J} \\ \hline 2& \textsf{K} &\textsf{L} &\textsf{M}& \textsf{N}& \textsf{O} \\ \hline 3 & \textsf{P} &\textsf{Q} &\textsf{R} &\textsf{S} &\textsf{T}\\ \hline 4 & \textsf{U} &\textsf{V} &\textsf{X} &\textsf{Y}& \textsf{Z} \\ \hline \end{array}$$ Remarque : la lettre $\textsf{W}$ est remplacée par les deux lettres accolées $\textsf{V}$.

• On utilise le tableau ci-contre pour obtenir la nouvelle lettre correspondant à la matrice colonne $\begin{pmatrix} r'\\t' \end{pmatrix}$.

1. Bob et Alice choisissent la matrice $\text{M} = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$.
   1. Montrer que la lettre « $\textsf{T}$» du message initial est codée par la lettre « $\textsf{U}$» puis coder le message « $\textsf{TE}$» .
   $T$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\24\end{pmatrix}$
   Or $10\equiv 0~[5]$ et $24\equiv 4~[5]$.
   Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $U$.
   $\quad$
   $E$ est remplacé par la matrice $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$
   Or $4\equiv 4~[5]$ et $12\equiv 2~[5]$.
   Donc $\begin{pmatrix}r\\r’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ ce qui représente la lettre $O$.
   $\quad$
   Le message $TE$ est donc codé par $UO$.
   $\quad$
   
   2. On pose $\text{P} = \begin{pmatrix} 3&1\\4&2 \end{pmatrix}$. Montrer que les matrices PM et $\text{I} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   On a $PM=\begin{pmatrix} 6&10\\10&16\end{pmatrix}$
   Or $6\equiv 1~[5]$, $10\equiv 0~[5]$ et $16\equiv 1~[5]$.
   Donc $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   
   3. On considère A, A' deux matrices d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et $\text{Z} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$, $\text{Z}' =\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers congrues modulo 5. Montrer alors que les matrices AZ et A'Z' sont congrues modulo 5.
   On note $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $A’=\begin{pmatrix}a’&b’\\c’&d’\end{pmatrix}$
   Ainsi $AZ=\begin{pmatrix} ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}$
   Mais :
   – si $a\equiv a’~[5]$  et $x\equiv x’~[5]$ alors $ax\equiv a’x’~[5]$
   – si $e \equiv e’~[5]$ et $f\equiv f’~[5]$ alors $e+f\equiv e’+f’~[5]$.
   Donc $ax+by\equiv a’x’+b’y’~[5]$ et $cx+dy\equiv c’x’+d’y’~[5]$.
   Par conséquent les matrices $AZ$ et $A’Z’$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$

Dans ce qui suit on admet que si A, A' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 et si B, B' sont deux matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers congrues modulo 5 alors les matrices produit AB et A'B' sont congrues modulo 5.

1. 1. On note $\text{X}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}$ et $\text{Y} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}$ deux matrices colonnes à coefficients entiers. Déduire des questions précédentes que si MX et Y sont congrues modulo 5 alors les matrices X et PY sont congrues modulo 5; ce qui permet de « décoder» une lettre chiffrée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matrice M choisie.
   D’après la question précédente, les matrices $PMX$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
   D’après la question 1.b. les matrices $PM$ et $I$ sont congrues modulo $5$.
   Par conséquent, les matrices $X$ et $PY$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   Ainsi si on a $MX=Y$ alors, pour décoder la lettre associée à la matrice $Y$  modulo 5 il suffit de trouver la lettre associée à la matrice $PY$ modulo $5$.
   $\quad$
   
   2. Décoder alors la lettre « $\textsf{D}$» .
   La lettre $D$ est associée à la matrice $Y=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$
   $PY=\begin{pmatrix} 9\\12\end{pmatrix}$
   qui est congrue modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 4\\2\end{pmatrix}$.
   Ainsi la lettre $D$ est décodée en $O$.
   $\quad$
2. On souhaite déterminer si la matrice $\text{R}=\begin{pmatrix} 1&2\\4&3 \end{pmatrix}$ peut être utilisée pour coder un message.
   1. On pose $\text{S} = \begin{pmatrix} 2&2\\4&4 \end{pmatrix}$. Vérifier que la matrice RS et la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}$ sont congrues modulo 5.
   On a $RS=\begin{pmatrix} 10&10\\20&20\end{pmatrix}$ qui est bien congru modulo $5$ à la matrice $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. On admet qu'un message codé par la matrice R peut être décodé s‘il existe une matrice T telle que les matrices TR et I soient congrues modulo 5. Montrer que si c‘est le cas alors les matrices TRS et S sont congrues modulo 5 (par la procédure expliquée en question \textbf{1. d.} pour le codage avec la matrice M).
   Si $TR$ et $I$ sont congrues modulo $5$ alors, d’après la procédure fournie, les matrices $TRS$ et $IS$ sont congrues modulo $5$.
   Cela signifie donc que $TRS$ et $S$ sont congrues modulo $5$.
   $\quad$
   
   3. En déduire qu‘un message codé par la matrice R ne peut être décodé.
   On note $Q=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$
   $RS$ est $Q$ sont congrues modulo $5$
   Donc $TRS$ et $TQ$ sont congrues modulo $5$.
   Or $TQ=\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}=Q$.
   D’après la question précédente cela signifie donc que $I$ et $\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}$ sont congrues modulo $5$.
   Or $1$ et $0$ ne sont pas congrus modulo $5$.
   Ainsi la matrice $T$ n’existe pas et un message codé par la matrice $R$ ne peut être décodé.
   $\quad$