Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

 

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels par : $$f(x)=\dfrac{7}{2} -\dfrac{1}{2} \left (\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right )$$

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   2. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   3. Montrer que l’équation $f(x)=0)$ admet, sur l’intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.
2. En remarquant que, pour tout réel $x, f(—x) = f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb R$ et qu’elles sont opposées.

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- \alpha;\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ sur l’intervalle $[- \alpha;\alpha]$.
On admettra que la courbe admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.
2. 1. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathcal{C}$ sur l’intervalle $[0;\alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : $$I=\displaystyle\int_0^{\alpha} \sqrt{1 + \left (f'(x)\right )^2}\text{d} x.$$ Montrer que pour tout réel $x$, on a :$$1 + \left (f'(x)\right )^2=\dfrac{1}{4}\left (\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right )^2$$
   2. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
      Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à :$\text{e}^{\alpha}+\text{e}^{-\alpha}$.

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5 mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur 1 mètre et de longueur 2 mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en $m^2$, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre. Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en $m^2$, par :$$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x -2.$$
2. On prend 1,92 pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au $m^2$ près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

 

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels par : $$f(x)=\dfrac{7}{2} -\dfrac{1}{2} \left (\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right )$$

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   On a $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty$.
   
   
   De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^{-x}=0$
   
   
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right)=-\infty$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
   
   
   De plus, pour tout réel $x$ on a : $ f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)$
   
   
   Pour tout réel $x$ positif on a $x>-x$.
   
   
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ donc $\text{e}^{x}>\text{e}^ {-x}$.
   
   
   Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}>0$ et $f'(x)<0$.
   
   
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que l’équation $f(x)=0)$ admet, sur l’intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   
   
   $f(0)=2,5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   
   
   Or $0\in ]-\infty;2,5]$.
   
   
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   
   
   $\quad$
2. En remarquant que, pour tout réel $x, f(—x) = f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb R$ et qu’elles sont opposées.
Pour tout réel $x$ positif on a :

 

$\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right)^2 \\

 

&=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2\\

 

&=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^{2x}-2+\e^{-2x}\right) \\

 

&=\dfrac{1}{4}\e^{2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\e^{-2x}\\

 

&=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2\end{align*}$

 

$\quad$

 

 

La fonction $f$ est donc paire.

 

L’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$. Par conséquent l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $-\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty;0]$.

 

$\quad$

 

L’équation $f(x)=0$ possède donc exactement deux solutions sur $\mathbb R$ : $\alpha$ et $-\alpha$.

 

$\quad$

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- \alpha;\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ sur l’intervalle $[- \alpha;\alpha]$.
On admettra que la courbe admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.
La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

 

On sait que pour tout réel $x$ positif on a $f(-x)=f(x)$.

 

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.

 

Par conséquent la fonction $f$ atteint son maximum en $0$.

 

Ainsi la hauteur d’un arceau est $h=f(0)=2,5$ m.

 

$\quad$
1. 1. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathcal{C}$ sur l’intervalle $[0;\alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : $$I=\displaystyle\int_0^{\alpha} \sqrt{1 + \left (f'(x)\right )^2}\text{d} x.$$ Montrer que pour tout réel $x$, on a :$$1 + \left (f'(x)\right )^2=\dfrac{1}{4}\left (\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right )^2$$
   Pour tout réel $x$ on a :
   
   
   $\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)\right)^2 \\
   
   
   &=1+\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)^2\\
   
   
   &=1+\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^ {2x}-2+\text{e}^ {-2x}\right) \\
   
   
   &=\dfrac{1}{4}\text{e}^ {2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\text{e}^ {-2x}\\
   
   
   &=\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)^2\end{align*}$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
      Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à :$\text{e}^{\alpha}+\text{e}^{-\alpha}$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$. Pour tout réel $x$ on a donc $\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}>0$.
   
   
   On a donc :
   
   
   $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\text{d} x \\
   
   
   &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)^2}\text{d} x \\
   
   
   &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right) \text{d} x \\
   
   
   &=\dfrac{1}{2}\left[\text{e}^{x}-\text{e}^ {x-}\right]_0^{\alpha}\\
   
   
   &=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}-0\right)\\
   
   
   &=\dfrac{\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}}{2}\end{align*}$
   
   
   La longueur d’un arceau est $L=2I=\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}$.
   
   
   $\quad$ $\begin{align*} \ds I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx \\
   &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2}\dx \\
   &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right) \dx \\
   &=\dfrac{1}{2}\left[\e^x-\e^{x-}\right]_0^{\alpha}\\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}-0\right)\\
   &=\dfrac{\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}}{2}\end{align*}$
   La longueur d’un arceau est $L=2I=\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
   $\quad$

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5 mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur 1 mètre et de longueur 2 mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en $m^2$, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre. Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en $m^2$, par :$$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x -2.$$
L’aire de la bâche recouvrant la façade nord est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$ soit, puisque la fonction $f$ est continue et positive sur cet intervalle :

 

$J=\displaystyle \int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\text{d} x=2\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x$.

 

L’aire de la porte est $P=2\times 1=2$.

 

Ainsi la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les deux façades est :

 

$\mathscr{A}=2J-2=4\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x-2$.

 

$\quad$
1. On prend 1,92 pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au $m^2$ près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Le rectangle recouvrant la serre a pour dimensions : $4,5$ et $\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}$.

 

Son aire est donc $4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)$.

 

L’aire totale de la bâche est donc :

 

$T=4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x-2$.

 

Or :

 

$\begin{align*}\displaystyle \int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x &=\left[\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)\right]_0^{\alpha} \\

 

&=\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)\end{align*}$

 

Par conséquent :

 

$\begin{align*} T&=4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x-2 \\

 

&=4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+4\left(\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)\right)-2\\

 

&=2,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+14\alpha-2\\

 

&\approx 41,57\end{align*}$

 

Il faut donc prévoir environ $42$ m$^2$ de bâche pour réaliser cette serre.

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Probabilités

 

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle [9; 25].
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

1. 1. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
   2. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

• si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
• si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :

• $A_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $A$. »
• $B_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $B$. »

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

1. 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.
      
   2. Montrer que pour tout entier naturel $n> 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n=0,3.$$
Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].

 

La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par : $a_1 = a$, et pour tout entier naturel $n > 1, a_{n+1} = 0,5a_n + 0,3$.
1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n > 1$, on a : $0 < a_n < 0,6$.
   2. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
   3. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle [0; 1].
   On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par : $u_n = a_n - 0,6$.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n \geq 1$ on a : $a_n = (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$ .
   3. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
   4. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Probabilités

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle [9; 25].
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

1. 1. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
   La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;25]$ donc $E\left(X_A\right)=\dfrac{9+25}{2}=17$.
   
   
   Une partie de type $A$ dure donc en moyenne $17$ minutes.
   
   
   $\quad$
   1. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
L’axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction de densité semble avoir pour équation $x=17$.

 

Une partie de type $B$ dure donc en moyenne $17$ minutes également.

 

$\quad$
1. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
On a $P\left(X_A\leq 20\right)=\dfrac{20-9}{25-9}=0,687~5$.

 

et

 

$\begin{align*} P\left(X_B\leq 20\right)&=P\left(X_B\leq 17\right)+P\left(17\leq X_B\leq 20\right) \\

 

&=0,5+P\left(17\leq X_B\leq 20\right) \\

 

&\approx 0,841~3\end{align*}$

 

On choisit de manière équiprobable un type de jeu.

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
La probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes est donc :

 

$\begin{align*} p&=\dfrac{1}{2}\left(P\left(X_A\leq 20\right)+P\left(X_B\leq 20\right) \right) \\

 

&\approx 0,76\end{align*}$

 

$\quad$

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

• si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
• si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :

• $A_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $A$. »
• $B_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $B$. »

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

1. 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.
      
   
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n> 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n=0,3.$$
   Pour tout entier naturel $n\geq 1$, d’après la formule des probabilités totales on a :
   
   
   $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
   
   
   &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
   
   
   &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
   
   
   &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
   
   
   $\quad$
Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].

 

La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par : $a_1 = a$, et pour tout entier naturel $n > 1, a_{n+1} = 0,5a_n + 0,3$.
1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n > 1$, on a : $0 < a_n < 0,6$.
   Initialisation :
   si $n=1$ alors $a_1=0,5 \in[0;0,6]$.
   
   
   La propriété est vraie au rang $1$.
   
   
   $\quad$.
   
   Hérédité :
   On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\leq a_n\leq 0,6$.
   
   
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0\leq a_{n+1}\leq 0,6$.
   
   
   $\begin{align*} 0\leq a_n\leq 0,6&\iff 0\leq 0,5a_n\leq 0,3\\
   
   
   &\iff 0,3\leq 0,5a_n+0,3\leq 0,6\\
   
   
   &\iff 0,3\leq a_{n+1}\leq 0,6\end{align*}$
   
   
   Par conséquent $0\leq a_{n+1}\leq 0,6$.
   
   
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   
   
   $\quad$
   
   Conclusion :
   La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   
   
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a $0\leq a_n\leq 0,6$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
   Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
   
   
   $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
   
   
   &=0,3-0,5a_n \\
   
   
   &\geq 0,3-0,5\times 0,6\\
   
   
   &\geq 0\end{align*}$
   
   
   La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
   La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée; elle converge donc vers un réel $\ell$.
   
   
   Le réel $\ell$ est solution de l’équation :
   
   
   $\ell=0,5\ell+0,3 \iff 0,5\ell=0,3\iff \ell =0,6$.
   
   
   La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $0,6$.
   
   
   $\quad$
2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle [0; 1].
   On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par : $u_n = a_n - 0,6$.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
   Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \iff a_n=u_n+0,6$.
   
   
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
   
   
   &=0,5a_n+0,3-0,6\\
   
   
   &=0,5a_n-0,3\\
   
   
   &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
   
   
   &=0,5u_n+0,3-0,3\\
   
   
   &=0,5u_n\end{align*}$
   
   
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire que pour tout entier naturel $n \geq 1$ on a : $a_n = (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$ .
   Ainsi, pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
   
   
   Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
   $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
   
   
   Cette limite ne dépend donc pas de $a$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
   Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type A est égale à $0,6$ et celle qu’il fasse une partie de type B est égale à $0,4$.
   
   
   Il verra donc plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.
   
   
   $\quad$

Exercice 3 4 points

Un Vrai- Faux

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

1. Dans l’ensemble $\mathbb C $des nombres complexes, on considère l’équation $(E) : z^2 — 2\sqrt 3 z + 4 = 0$.
   On note $A$ et $B $les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
   Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
2. On note $u$ le nombre complexe : $u = \sqrt 3 + i$ et on note $\overline{u}$ son conjugué.
   Affirmation 2 : $u^{2019}+ \overline{u}^{\;2019}=2^{2019}$.
3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$ f_n(x)=x\text{e}^{-nx+1}.$$ Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n >1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
4. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x) = \cos (x) \text{e}^{-x}$.
   Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
5. Soit $A$ un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|} \hline I\leftarrow 0\\ \text{Tant que } 2 ^I \leq A \\ \hspace{1cm} I\leftarrow I+1 \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$ On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d’exécution de cet algorithme.
   Affirmation5 : $15 \ln (2) < \ln (A) < 16 \ln (2)$

Correction de l'exercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Un Vrai- Faux

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

 

1. Dans l’ensemble $\mathbb C $des nombres complexes, on considère l’équation $(E) : z^2 — 2\sqrt 3 z + 4 = 0$.
   On note $A$ et $B $les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
   Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
On considère l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.

 

Son discriminant est $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$

 

Les solutions complexes de cette équation sont donc :

 

$z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\text{i}}{2}=\sqrt{3}-\text{i}$ et $z_2=\overline{z_2}=\sqrt{3}+\text{i}$.

 

On note $A$ le point d’affixe $z_1$ et $B$ celui d’affixe $z_2$.

 

$OA=\left|z_1\right|=2$ et $OB=\left|z_2\right|=2$

 

$AB=\left|z_2-z_1\right|=|2\text{i}|=2$.

 

Ainsi $AB=OA=OB$. Le triangle $OAB$ est équilatéral.

Affirmation 1 vraie.

$\quad$
1. On note $u$ le nombre complexe : $u = \sqrt 3 + i$ et on note $\overline{u}$ son conjugué.
   Affirmation 2 : $u^{2019}+ \overline{u}^{\;2019}=2^{2019}$.
On a $|u|=2$ donc $u=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right)=2\text{e}^ {\text{i} \frac{\pi}{6}}$.

 

Ainsi $\overline{u}=2\text{e}^ {-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

 

Par conséquent :

 

$\begin{align*} u^{2019}+\overline{u}^{2019}&=2^{2019}\text{e}^ {336,5\text{i}\pi}+2^{2019}\text{e}^ {-336,5\text{i}\pi} \\

 

&=2^{2019}\left(\text{e}^ {(168\times 2\pi +\frac{\pi}{2})\text{i}}+\text{e}^ {-(168\times 2\pi +\frac{\pi}{2})\text{i}} \right)\\

 

&=2^{2019}\left(\text{i}-\text{i}\right)\\

 

&=0\end{align*}$

Affirmation 2 fausse

$\quad$
1. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$ f_n(x)=x\text{e}^{-nx+1}.$$ Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n >1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
Soit $n$ un entier naturel non nul.

 

La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

 

$\begin{align*} {f_n}'(x)&=\text{e}^ {-nx+1}+x\times \left(-n\text{e}^ {-nx+1}\right) \\

 

&=(1-nx)\text{e}^ {-nx+1}\end{align*}$

 

La fonction exponentielle est strictement positive.

 

Le signe de ${f_n}'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-nx$.

 

Or $1-nx=0\iff x=\dfrac{1}{n}$ et $1-nx>0\iff x<\dfrac{1}{n}$.

 

La fonction $f_n$ est ainsi croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{n}\right]$ et décroissante sur l’intevalle $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[$.

 

Pour tout entier naturel $n\geq 1$, la fonction $f_n$ admet donc un maximum en $\dfrac{1}{n}$.

Affirmation 3 vraie

$\quad$
1. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x) = \cos (x) \text{e}^{-x}$.
   Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
Pour tout réel $x$ on a $-1\leq \cos x\leq 1$.

 

Donc $-\text{e}^ {-x}\leq f(x)\leq \text{e}^ {-x}$.

 

Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^ {-x}=0$

 

D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.

 

La courbe $\mathcal{C}$ admet donc une asymptote en $+\infty$.

Affirmation 4 vraie

$\quad$
1. Soit $A$ un nombre réel strictement positif. On considère l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|} \hline I\leftarrow 0\\ \text{Tant que } 2 ^I \leq A \\ \hspace{1cm} I\leftarrow I+1 \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$ On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d’exécution de cet algorithme.
   Affirmation5 : $15 \ln (2) < \ln (A) < 16 \ln (2)$
D’après l’algorithme on a : $2^{14} \leq A \leq 2^{15}$

 

Donc, en utilisant la strictement croissance de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$ on a :

 

$14\ln(2) \leq \ln(A) \leq 15\ln(2)$.

Affirmation 5 fausse

$\quad$

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1, dont la figure est donnée en annexe.
On note I le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD] tel que $\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AK}$.
On note $\mathscr{P}$ le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).

Partie A

ans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

1. Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu’on note $M$. Construire le point $M$.
2. Construire la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A ; \vec{AB} ; \vec{AD} ; \vec{AE}\right)$.
On rappelle que $\mathscr{P}$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

1. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\ -3\\ \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
   2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x + 4y - 3z - 1 = 0$.
   3. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
   4. Calculer les coordonnées du point $M$, point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $(AE)$.
2. On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   2. Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
   3. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
   4. Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu'en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.

 Annexe

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1, dont la figure est donnée en annexe.
On note I le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD] tel que $\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AK}$.
On note $\mathscr{P}$ le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).

Partie A

ans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

1. Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu’on note $M$. Construire le point $M$.
Les droites $(AE)$ et $(HK)$ sont incluses dans le plan $(EAH)$. Le point $M$ est donc le point d’intersection de ces deux droites.

 

Voir la figure à la fin de l’exercice.

 

$\quad$
1. Construire la section du cube par le plan $\mathscr{P}$.
D’après le théorème des milieux, appliqué dans le triangle $EFH$, les droites $(IJ)$ et $(FH)$ sont parallèles.

 

La droite $(FM)$ est l’intersection des plans $(AEF)$ et $(FHK)$.

 

L’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la face $ABFE$ est donc la droite parallèle à la droite $(FM)$ passant par le point $I$.

 

$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A ; \vec{AB} ; \vec{AD} ; \vec{AE}\right)$.
On rappelle que $\mathscr{P}$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

1. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\ -3\\ \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
   Les coordonnées du point :
   
   
   – $F$ sont $(1;0;1)$
   
   
   – $H$ sont $(0;1;1)$
   
   
   – $K$ sont $(0;0,25;0)$.
   
   
   Ainsi $\vec{FH}(-1;1;0)$ et $\vec{FK}(-1;0,25;-1)$. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
   
   
   Donc $\vec{n}.\vec{FH}=-4+4+0=0$ et $\vec{n}.\vec{FK}=-4+1+3=0$.
   
   
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHK)$.
   
   
   C’est un vecteur normal à ce plan.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x + 4y - 3z - 1 = 0$.
   Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
   
   
   Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan donc $4+0-3+d=0\iff d=-1$.
   
   
   Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est dp,c $4x+4y-3z-1=0$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
   Les plans $\mathscr{P}$ et $(FHK)$ sont parallèles. Par conséquent, le vecteur $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
   
   
   Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
   
   
   Le point $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$.
   
   
   Ainsi $2+0-3+d=0\iff d=1$.
   
   
   Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $4x+4y-3z+1=0$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Calculer les coordonnées du point $M'$, point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $(AE)$.
   On a $\vec{AE}(0;0;1)$.
   
   
   Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est donc $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \quad, t\in \mathbb R$.
   
   
   Les coordonnées du point d’intersection de la $(AE)$ et du plan $\mathscr{P}$ sont solutions du système :
   
   
   $\begin{cases} 4x+4y-3z+1=0 \\x=0\\y=0\\z=t\end{cases}\iff \begin{cases} -3t+1=0\\x=0\\y=0\\z=t\end{cases}\iff \begin{cases} t=\dfrac{1}{3}\\x=0\\y=0\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
   
   
   Le point $M'$ a donc pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
   
   
   $\quad$
2. On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
   
   
   Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : $$\begin{cases} x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\quad ,k\in \mathbb R$$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $z=0$.
   
   
   Les coordonnées du point $L$ sont donc solution du système :
   
   
   $\begin{cases}z=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\iff\begin{cases}1-3k=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\iff \begin{cases} k=\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=0\end{cases}$.
   
   
   Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};0\right)$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
   Voir figure.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu'en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
   $\quad$
   
   
   $\vec{BF}\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix} $
   
   
   Une représentation paramétrique de la droite $(BF)$ est : $$\begin{cases} x=1\\y=0\\z=t\end{cases}\quad ,t\in \mathbb R$$
   
   
   $\quad$
   
   
   Pour déterminer l'intersection des droites $\Delta$ et $(BF)$, on résout le système :
   
   
   $\begin{cases}4k=1\\4k=0\\ 1-3k=t\end{cases}$.
   
   
   Ce système n'a pas de solution, donc les droites $\Delta$ et $(BF)$ ne sont pas sécantes
   
   
   $\vec{CG}\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix} $
   
   
   Une représentation paramétrique de la droite $(CG)$ est : $$\begin{cases} x=1\\y=1\\z=t\end{cases}\quad ,t\in \mathbb R$$
   
   
   $\quad$
   
   
   Pour déterminer l'intersection des droites $\Delta$ et $(CG)$, on résout le système :
   
   
   $\begin{cases}4k=1\\4k=1\\ 1-3k=t\end{cases}\iff\begin{cases} k=\frac{1}{4}\\ t=\frac{1}{4} \end{cases} $.
   
   
   $t=\frac{1}{4}$ fournit le point $P(1;1;\frac{1}{4})$.
   
   
   Les droites $\Delta$ et $(CG)$ sont sécantes en $P(1;1;\frac{1}{4})$.

Figure :

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $ , où $a, b, c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\mathbb Z$ et vérifient : $ad -bc = 1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

1. Vérifier que la matrice $A= \begin{pmatrix} 6& 5\\ -5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ appartient à l'ensemble $S$.
2. Montrer qu'i existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& 2\\ 3 & d \\ \end{pmatrix}$ appartenant à $S$ ; les expliciter.
3. 1. Résoudre dans $\mathbb Z$ l'équation $(E): 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(2;1)$ est une solution particulière de cette équation.
   2. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& b\\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}$ qui appartiennent à l'ensemble $S$. Décrire ces matrices.

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

 

Dans cette partie, on note $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $une matrice appartenant à l'ensemble $S$. On rappelle que $a, b, c$ et $d$ sont des entiers relatifs tels que $ad -bc = 1$.

1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
2. Soit $B$ la matrice $B = \begin{pmatrix} d&- b\\- c &a \\ \end{pmatrix} $
   1. Calculer le produit $AB$. On admet que l'on a $AB=BA$.
   2. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
   3. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
3. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x'$ et $y'$ les entiers relatifs tels que $ \begin{pmatrix} x'\\y' \\ \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\y \\ \end{pmatrix}$
   1. Montrer que $x = dx' - by'$. On admet de même que $y = ay'- ex'$.
   2. On note $D$ le $PGCD$ de $x$ et $y$ et on note $D'$ le $PGCD$ de $x'$ et $y'$. Montrer que $D = D'$.
4. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0 = 2019, y_0 = 673$ et pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} x_{n+1}=2x_n+3y_n\\ y_{n+1}= x_n+2y_n \end{cases} $
   En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le $PGCD$ des entiers $x_n$ et $y_n$.

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $ , où $a, b, c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\mathbb Z$ et vérifient : $ad -bc = 1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

1. Vérifier que la matrice $A= \begin{pmatrix} 6& 5\\ -5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ appartient à l'ensemble $S$.
On a $6\times (-4)-5\times (-5)=-24+25=1$. Donc $A\in S$.

 

$\quad$
1. Montrer qu'i existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& 2\\ 3 & d \\ \end{pmatrix}$ appartenant à $S$ ; les expliciter.
On veut que $ad-6=1\iff ad=7$ avec $a$ et $d$ entiers relatifs.

 

$7$ est un nombre premier.

 

Par conséquent $a=1$ et $d=7$

 

ou $a=7$ et $d=1$

 

ou $a=-1$ et $d=-7$

 

ou $a=-7$ et $d=-1$.

 

Il existe donc exactement quatre matrices de la forme souhaitée qui sont $\begin{pmatrix} 1&2\\3&7\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 7&2\\3&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1&2\\3&-7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -7&2\\3&-1\end{pmatrix}$.

 

$\quad$
1. 1. Résoudre dans $\mathbb Z$ l'équation $(E): 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(2;1)$ est une solution particulière de cette équation.
   On a $5\times 1-2\times 2=5-4=1$. Le couple $(1;2)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   
   
   On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$
   
   
   Ainsi : $5\times 1-2\times 2=1$ et $5x-2y=1$.
   
   
   Par différence on a $5(1-x)-2(2-y)=0$ soit $5(1-x)=2(2-y)$.
   
   
   $5$ et $2$ sont premiers entre eux.
   
   
   D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1-x=2k$ et $2-y=5k$ soit $x=1-2k$ et $y=2-5k$.
   
   
   $\quad$
   
   
   Réciproquement : soit $k$ un entier relatif.
   
   
   $5(1-2k)-2(2-5k)=5-10k-4+10k=1$.
   
   
   Les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\mathbb Z$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& b\\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}$ qui appartiennent à l'ensemble $S$. Décrire ces matrices.
   $A\in S\iff 5a-2b=1$
   
   
   D’après la question précédente $(a,b)=(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\mathbb Z$ sont solutions de cette équation.
   
   
   Il existe ainsi une infinité de matrices solutions qui s’écrivent alors :
   
   
   $$\begin{pmatrix}1-2k&2-5k\\2&5\end{pmatrix} \quad k\in\mathbb Z$$
   
   
   $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

 

Dans cette partie, on note $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $une matrice appartenant à l'ensemble $S$. On rappelle que $a, b, c$ et $d$ sont des entiers relatifs tels que $ad -bc = 1$.

1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
On a $ad-bc=1\iff a\times d+b\times (-x)=1$. D’après le théorème de Bezout les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

 

$\quad$
1. Soit $B$ la matrice $B = \begin{pmatrix} d&- b\\- c &a \\ \end{pmatrix} $
   1. Calculer le produit $AB$. On admet que l'on a $AB=BA$.
   On a $AB=\begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=I$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
   Ainsi $A$ est inversible et $A^{-1}=B= \begin{pmatrix} d&- b\\- c &a \\ \end{pmatrix}$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
   On a $da-(-b)\times (-c)=ad-bc=1$.
   
   
   Donc $A^{-1}\in S$.
   
   
   $\quad$
2. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x'$ et $y'$ les entiers relatifs tels que $ \begin{pmatrix} x'\\y' \\ \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\y \\ \end{pmatrix}$
   1. Montrer que $x = dx' - by'$. On admet de même que $y = ay'- ex'$.
   On a :
   
   
   $\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &\iff
   
   
   \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix} \\
   
   
   &\iff \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}dx’-by’\\-cx’+ay’\end{pmatrix}\end{align*}$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. On note $D$ le $PGCD$ de $x$ et $y$ et on note $D'$ le $PGCD$ de $x'$ et $y'$. Montrer que $D = D'$.
   $D’$ divise à la fois $x’$ et $y’$ il divise donc également $x=dx’-by’$ et $y=ay’-cx’$.
   
   
   Par conséquent $D$ divise $D’$.
   
   
   On a également $x’=ax+by$ et $y’=cx+dy$
   
   
   Donc, pour la même raison $D$ divise également $x’$ et $y’$.
   
   
   Ainsi $D’$ divise $D$.
   
   
   Par conséquent $D=D’$.
   
   
   $\quad$
3. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0 = 2019, y_0 = 673$ et pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} x_{n+1}=2x_n+3y_n\\ y_{n+1}= x_n+2y_n \end{cases} $
   En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le $PGCD$ des entiers $x_n$ et $y_n$.
On a: $2019=3\times 673$.

 

Le PGCD de $x_0$ et $y_0$ est donc $673$.

 

D’après la question précédente $673$ est également le $PGCD$ des entiers $x_n$ et $y_n$.

 

$\quad$

 

Remarque : Si on a le temps, on peut démontrer par récurrence $PGCD(x_n;y_n)=PGCD(x_0;y_0)$.