Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2013

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
\[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu' initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$ m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$ m. Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 250] par
\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]

1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$  ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 250].
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$m.
   Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$. Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0;250] par
   $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
3. Déterminer la valeur moyenne valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
   En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Partie 1

On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution.
La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
\[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu' initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$ m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$ m. Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

• $h(0) =0,1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{0}}=0,1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{1+b}=0,1 \Leftrightarrow 10 a =1+b \Leftrightarrow b=10a -1$
• Comme $\lim\limits_{t\to +\infty}- 0,04t =-\infty $ et $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$ $\lim\limits_{t\to +\infty} h(t)=2 \Leftrightarrow \lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}=2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{1+b\times 0}=2 \Leftrightarrow a=2$

$a=2$ donne donc $b=10a -1 \Leftrightarrow b=19$ 

Partie 2

On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0 ; 250] par
\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]

1. Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$  ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 250].
$f=\dfrac{2}{u}$ avec $u(t)=1 + 19\text{e}^{- 0,04t}$, ainsi $f'(t)=-2\times \dfrac{19\times (-0,04)\text{e}^{- 0,04t}}{\left(1 + 19\text{e}^{- 0,04t}\right )^2 }$
$f'(t)=\dfrac{1,52\text{e}^{- 0,04t}}{\left(1 + 19\text{e}^{- 0,04t}\right )^2 }$
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$ et le dénominateur étant le carré d'un réel non nul, on a sans peine $\forall t \in [0~;~250]; f'(t)>0$.
$f$ est strictement croissante sur [0;250].
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$m.
   Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$.
On résout $f(t)>1,5 $
$$\begin{array}{ll} f(t)>1,5& \Leftrightarrow \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}} >1,5 \\ & \Leftrightarrow 2 >1,5 \left (1 + 19\text{e}^{- 0,04t}\right ) \\ & \Leftrightarrow 0,5 > 3\times 19\text{e}^{- 0,04t} \\ & \Leftrightarrow \text{e}^{- 0,04t} < \dfrac{1}{57}\\ & \Leftrightarrow - 0,04 t < \ln \left (\dfrac{1}{57} \right ) \\ & \Leftrightarrow t>\dfrac{ \ln 57}{0,04} \\ & \Leftrightarrow t >25\ln(57) \\ \end{array}$$
Le plant atteint une hauteur supérieure à $1,5$ m pour $t>25\ln(57)$,soit pour un temps qui dépasse 102 jours .
On a $\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=\dfrac{\text{e}^{0,04t}\times 2}{\text{e}^{0,04t}\left (1 + 19\text{e}^{-0,04t}\right )}=\dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}=f(t)$.
On a donc bien $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$.
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
• Première méthode : On dérive $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$, comme $F=50\ln u$, on a $F'=\dfrac{50u'}{u}$, ainsi $F'(t) = 50\dfrac{0,04\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=f(t)$
  Ayant $F'(t)=f(t)$, on a montré que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
• Deuxième méthode : $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$,
  on pose $u(t)=\text{e}^{0,04t} + 19$, alors $u'(t)= 0,04\text{e}^{0,04t}$ donc $\text{e}^{0,04t}=\dfrac{1}{0,04}u'(t)=25u'(t)$
  Ainsi $f =2\times \dfrac{25 u'}{u}=\dfrac{50 u'}{u}$ et donc $F=50 \ln |u|$
  Comme pour tout $t \in [0;250]$ on a $\text{e}^{0,04t} + 19>0$, on déduit que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par $F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$.
3. Déterminer la valeur moyenne valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50  ; 100] est $\mu= \dfrac{1}{100-50}\displaystyle \int_{50}^{100} f(t)\; dt=\dfrac{1}{ 50}\left [ F(t)\right ]_{50}^{100}$
$F(100)=50 \ln\left( \text{e}^{0,04 \times 100} + 19\right)=50\ln \left ( e^{4}+19\right )$
$F(50)=50 \ln\left(\text{e}^{0,04 \times 50} + 19\right)=50\ln \left (e^{2}+19\right) $
$\mu= \dfrac{1}{ 50} \left [ F(100)-F(50)\right ]= \ln \left( e^{4}+19\right ) -\ln \left (\text{e}^{2}+19)\right) =\ln \left (\dfrac{ \text{e}^{4}+19 }{ \text{e}^{2}+19}\right )$
$\mu=\ln \left (\dfrac{\text{e}^{4}+19 }{ \text{e}^{2}+19}\right ) \approx 1,03$
4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
   En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe de $f$ est maximale, soit pour $t_{Max}\approx 73,5$ et la hauteur du plant est estimée à 1 m.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.
Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$.
Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + t + 2t'\\ y&=&- t - 2t'\\ z&=&- 1 - t + 3t' \end{array}\right.$
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + t\\ y&=&- t \\ z&=&- 1 - t \end{array}\right.$ On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
   1. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$
   2. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$
   3. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$
   4. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
2. 
   
   1. La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$.
   2. La droite (D) est une droite du plan (P).
   3. La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
3. 1. La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
   2. La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
   3. La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
   4. La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
4. 1. Les plans (P) et (S) sont parallèles.
   2. La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans (P) et (S).
   3. Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S).
   4. Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.
Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$.
Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + t + 2t'\\ y&=&- t - 2t'\\ z&=&- 1 - t + 3t' \end{array}\right.$
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 2 + t\\ y&=&- t \\ z&=&- 1 - t \end{array}\right.$ On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
   1. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$
   2. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$
   3. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$
   4. $\left\{\begin{array}{l c l} x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
Un vecteur normal à (P) est $\vec{n} (1;−2;3)$. Le point A(0;1;-1) appartient à ce plan.
L'équation (a) est celle d'une droite. Dans l'équation (b), 2 vecteurs de base sont $\vec{u} (1;−1;−1)$ et $\vec{v} (2;1;0)$ De plus $\vec{n}\cdot \vec{u}=1+2–3=0$ et$\vec{n}\cdot \vec{v} =2–2+0=0$. Par conséquent $\vec{n}$ est normal au plan défini par l'équation (b). A vérifie également cette équation.
Réponse b
2. 1. La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$.
   2. La droite (D) est une droite du plan (P).
   3. La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
Un vecteur directeur de (D) est $\vec{k} (1;-1;-1)$ et $\vec{n} \cdot\vec{k} =1+2–3=0$. Par conséquent (D) est parallèle (au sens large) au plan (P). Un point de (D) est B(-2;0;-1). Regardons si ce point appartient à (P). $-2+0-3+5=0$. Donc (D) est une droite de (P).
Réponse c
3. 1. La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
   2. La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
   3. La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
   4. La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
$\vec{MN}(2;−4;6)$ donc$\vec{MN}$ et $\vec{k} $ ne sont pas colinéaires. $\vec{MN}\cdot \vec{k} =2+4–6=0$. Donc (MN) et (D) sont orthogonales.
Réponse a
4. 1. Les plans (P) et (S) sont parallèles.
   2. La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans (P) et (S).
   3. Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S).
   4. Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
Si on remplace les coordonnées $x, y$ et $z$ de $(\Delta)$ dans l'équation de (P), on se retrouve avec l'équation : $$t-2(−2−t)+3(−3−t)+5=0\Longleftrightarrow 0=0$$ $$\left\{ \begin{array}{l} -2 + t + 2t’ = k \\\\ -t – 2t’ = -2 – k \\\\-1 -t + 3t’ = -3 – k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t’ = 0 \\\\ -t= -2 – k \end{array} \right.$$ Donc $(\Delta)$ est incluse dans (S). $(\Delta)$ appartient donc à l'intersection des 2 plans.
Réponse b

Exercice 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$. On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.

On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.

On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1)

et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
   $z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$.
   2. Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
   3. Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$.
   4. Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$ en prenant 2~cm pour unité graphique.
   5. Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$.
   1. Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$.
   2. Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$.
   3. Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$.
   4. Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$.
   5. Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.

Exercice 3 5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$. On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.

On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].

Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1)

et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
   $z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$.
   1. Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$.
   $Z_M = 2 \left( \cos \left(\dfrac{-\pi}{3}\right) + \text{i} \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right) \right) = 1 – \text{i} \sqrt{3}$
   2. Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
   $Z_{M’} = -\text{i}\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = -\sqrt{3} - \text{i}$
   3. Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$.
      • $|Z_{M’}| = |-\text{i}|\times |Z_M| = 1 \times 2 = 2$
      • $\text{arg }\left( Z_{M’}\right) = \text{arg }(-\text{i}) + \text{arg }\left(Z_M \right) = -\dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{-5\pi}{6} [2\pi]$
   4. Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère $\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$ en prenant 2 cm pour unité graphique.
   
   5. Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
   On constate effectivement que la droite (OI) est bien perpendiculaire à ($M'$) et que B$M'$=2OI.
2. On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$.
   1. Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$.
   $Z_I = \dfrac{Z_A+Z_M}{2} = \dfrac{1+x}{2} + \text{i}\dfrac{y}{2}$
   2. Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$.
   $Z_{M’} = -\text{i}(x+iy) = -\text{i}x+y$
   3. Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$.
   Par suite $I\left(\dfrac{1+x}{2};\dfrac{y}{2} \right)$ ; $B(0;1) $ et $M’(y;-x)$
   4. Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$.
   Calculons le produit scalaire $\vec{OI}.\vec{BM’}=\dfrac{1+x}{2} \times y + \dfrac{y}{2} \times (-x-1) = 0;$ Donc (OI) est une hauteur de OB$M′$.
   5. Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
      • $ BM’ = \sqrt{y^2+(-x-1)^2} = \sqrt{y^2+(x+1)^2}$
      • $OI = \sqrt{\left(\dfrac{1+x}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{y}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{(1+x)^2+y^2}}{2}$
      • Donc B$M′$=2OI

Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel $n$, on note $j_{n}$ le nombre d'animaux jeunes après $n$ années d'observation et $a_{n}$ le nombre d'animaux adultes après $n$ années d'observation.
Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[\left\{\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\ a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{array}\right.\]
On introduit les matrices suivantes :
$A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}$.

1. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}$.
   2. Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
   3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en fonction de $A^n$ et de $U_{0}$.
   On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}$.
2. 1. On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}$. Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$.
   2. Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$.
   3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$.
   On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul,\[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n\\ \end{pmatrix}\]
3. 1. En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
   2. Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?

Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes dans une population d'animaux.
Pour tout entier naturel $n$, on note $j_{n}$ le nombre d'animaux jeunes après $n$ années d'observation et $a_{n}$ le nombre d'animaux adultes après $n$ années d'observation.
Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.
Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : \[\left\{\begin{array}{l c l} j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\ a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n} \end{array}\right.\]
On introduit les matrices suivantes :
$A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\ \end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} = \begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}$.

1. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}$.
   $$A \times U_n = \begin{pmatrix} 0,125j_n+0,525a_n\\\\0,625j_n+0,625a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} j_{n+1} \\\\a_{n+1} \end{pmatrix}=U_{n+1}$$
   2. Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis à l'unité près par défaut).
   On cherche donc $U_1$ et $U_2$ $$U_1 = A\times U_0 = \begin{pmatrix} 287,5 \\\\437,5 \end{pmatrix}$$
   Il y a donc 287 animaux jeunes et 437 animaux adultes (arrondis par défaut) la première année.
   $$U_2 = A \times U_1 = \begin{pmatrix} 265,62 \\\\453,12 \end{pmatrix}$$
   Il y a donc 265 animaux jeunes et 453 animaux adultes (arrondis par défaut) la deuxième année.
   3. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en fonction de $A^n$ et de $U_{0}$.
   Puisque, pour tout $n, U_{n+1} = A \times U_n$, on peut écrire que $Un_=A^n×U_0$.
   On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5& 5\\ \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}$.
2. 1. On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} = \begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}$. Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$.
      • Initialisation :$Q \times D \times Q^{-1} = A$ donc la la propriété est vraie au rang 1.
      • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n : A^n = Q\times D^n \times Q^{-1}$.
        Alors $A^{n+1} = A^n \times A = Q \times D^n \times Q^{-1} \times Q \times A \times Q^{-1}$ $= Q \times D^{n+1} \times Q^{-1}$.
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
        La propriété est donc vraie au rang n+1.
      • Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
        Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = Q \times D^n \times Q{-1}$.
      • Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$.
      • Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en fonction de $n$.
      Pour tout entier naturel $n$ non nul, $D^n = \begin{pmatrix} (-0,25)^n&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
   On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul,\[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (- 0,25)^n\\ \end{pmatrix}\]
3. 1. En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
   On a donc :
   $U_n = \begin{pmatrix} 60 +140\times (-0,25)^n+210-210 \times (-0,25)^n \\\\100-100\times (-0,25)^n+350+150\times(-0,25)^n \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 270-70\times (-025)^n \\\\450+50\times(-0,25)^n \end{pmatrix}$
   $~$
   
   Par conséquent $j_n = 270 – 70 \times (-0,25)^n$ et $a_n=450 + 50\times (-0,25)^n$
   
   $~$
   
   2. Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
   Ayant $-1< 0,25 <1 $ on  déduit $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}(-0,25)^n = 0$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} j_n = 270$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 450$.
   
   Au bout d’un grand nombre d’années, la population des jeunes animaux sera de $270$ et celle des adultes de $450$.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité\index{probabilité} qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
• Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
• Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$. 
  On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine » .
  On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$.
  
  1. 1. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité.
     2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
  2. 1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
     
     
     2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
     3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
     4. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
     5. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant :
        $$ \begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Variables} & K \text{et}  J \text{sont des entiers naturels,}  P \text{est un nombre réel}\\ \text{Initialisation} & P  \text{prend la valeur}  0\\ &J  \text{prend la valeur}  1\\ \text{Entrée}&\text{ Saisir la valeur de } K\\ \text{Traitement} &\text{Tant que} P < 0,05 - 10^{- \text{K}}\\ &\quad P  \text{prend la valeur}  0,2 \times \text{P} + 0,04\\ &\quad J  \text{prend la valeur} J + 1\\ &\text{Fin tant que }\\ \text{Sortie} &\text{Afficher } J \\ \hline \end{array} $$
        À quoi correspond l'affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
  3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité\index{probabilité} pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.
     1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on donnera les paramètres.
        Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
     2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
        On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
        Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.
        $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -1,55 &-1,24 &-0,93 &- 0,62 &- 0,31 &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline P(Z < x) & 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline \end{array}$$
        Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 » .

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité\index{probabilité} qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

• Un salarié malade est absent
• La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade.
• Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
• Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$. 
  On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement « le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine » .
  On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$.

1. 1. Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité.
   
   Calculons la probabilité de l'événement $E_3$.
   $E_3=\left (E_2\cap E_3 \right )\cup \left (\overline{E_2}\cap E_3\right )$.
   La formule des probabilités totales donne $p(E_3)=p\left (E_2\cap E_3 \right )+p \left (\overline{E_2}\cap E_3\right )=p(E_2)\times p_{E_2}(E_3)+p(\overline{E_2})\times p_{\overline{E_2}}(E_3)$
   soit $p(E_3)= 0,04\times 0,24+ 0,96\times 0,04=0,048$
   2. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
   On veut calculer la probabilité conditionnelle $p_{E_3}(E_2)=\dfrac{p(E_2\cap E_3)}{p(E_3)}=\dfrac{0,04\times 0,24}{ 0,048}=0,2$
   $p_{E_3}(E_2)= 0,2$
2. 1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
   
   
   
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
   Calculons la probabilité de l'événement $E_{n+1}$.
   $E_{n+1}=\left (E_n\cap E_{n+1} \right )\cup \left (\overline{E_n}\cap E_{n+1}\right )$.
   La formule des probabilités totales donne $p_{n+1}=p(E_{n+1})=p\left (E_n\cap E_{n+1} \right )+p \left (\overline{E_n}\cap E_{n+1}\right )=p(E_n)\times p_{E_{n+1}}(E_n)+p(\overline{E_n})\times p_{\overline{E_{n+1}}}(E_n)$
   soit $p_{n+1}=p(E_{n+1})= p_n\times 0,24+ \left (1-p_n\right )\times 0,04=0,2p_n+0,04$
   $p_{n+1}=0,2p_n+0,04$
   3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$.
   $$u_{n+1} = p_{n+1} - 0,05 = 0,2p_n + 0,04 - 0,05 = 0,2p_n - 0,01 = 0,2(p_n-0,05) = 0,2u_n$$ $u_1=−0,05$ Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme -0,05. Par conséquent : $$u_n=-0,05 \times 0,2^{n-1} \qquad \text{et} \qquad p_n = 0,05 – 0,05 \times 0,2^{n-1}$$
   4. En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
   $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,2^n = 0$ car $-1 < 0,2 < 1$ Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}p_n = 0,05$
   5. On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant :
      $$ \begin{array}{|c|c|}\hline\text{ Variables} & K \text{et}  J \text{sont des entiers naturels,}  P \text{est un nombre réel}\\ \text{Initialisation} & P  \text{prend la valeur}  0\\ &J  \text{prend la valeur}  1\\ \text{Entrée}&\text{ Saisir la valeur de } K\\ \text{Traitement} &\text{Tant que} P < 0,05 - 10^{- \text{K}}\\ &\quad P  \text{prend la valeur}  0,2 \times \text{P} + 0,04\\ &\quad J  \text{prend la valeur} J + 1\\ &\text{Fin tant que }\\ \text{Sortie} &\text{Afficher } J \\ \hline \end{array} $$
      À quoi correspond l'affichage final J ?
   L'affichage final fournit le premier rang $N$ tel que $\left |p_N-0,05\right |\leq 10^{-\text{K}}$, où K est un entier choisi par l'utilisateur.
   En effet comme $p_n=0,05-0,02\times0,2^{n-1}$, on a pour tout $n; p_n < 0,05$ et comme l'algorithme calcule en autre les termes successifs de $\left (p_n\right )$, à partir de la relation de récurrence $p_{n+1}=0,2p_n+0,04$, traduit en P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$
   P $\geq 0,05 - 10^{- \text{K}}$ s'écrit $p_n\geq 0,05 - 10^{- \text{K}}$
   On a ainsi $0,05 - 10^{- \text{K}}\leq p_n< 0,05 $ soit $- 10^{- \text{K}}\leq p_n- 0,05 < 0$
   ce qui s'écrit $\left |p_N-0,05\right |\leq 10^{-\text{K}}$.
   Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
   
   Comme on sait que la suite $\left (p_n\right )$ converge vers 0,05,tout intervalle ouvert $I$ centré en $0,05$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.En particulier $I=]0,05- 10^{- \text{K}};0,05+ 10^{- \text{K}}[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$,
   alors pour $n\geq N$ on a $\left |p_N-0,05\right |\leq 10^{-\text{K}}$

Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité\index{probabilité} pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$. On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
   Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
On est en présence d'un schéma de Bernoulli:
Succès : « le salarié est malade une semaine donnée » avec la probabilité $p=0,05 $
Echec : « le salarié n' est pas malade une semaine donnée » avec la probabilité $q=1-p=0,95$
On répète 220 fois cette expérience de façon indépendante et on considère la variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de succès .
$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left (220;0,02\right )$ de paramètre $n=220$ et $p=0,02$
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$.
$\mu =np=220\times 0,05= 11$ et $\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{11\times 0,95}\approx 3,23$
$\mu =11$, et $\sigma\approx 3,23$.
2. On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ par la loi normale centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
   On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
   Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -1,55 &-1,24 &-0,93 &- 0,62 &- 0,31 &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline P(Z < x) & 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline \end{array}$$
   Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : « le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 » .
On veut calculer la probabilité de l'événement $7\leq X\leq 15$ qui s'écrit de façon équivalente :
$$7-11\leq X -11\leq 15 -11$$
$$-4\leq X -11\leq4$$ $$-\dfrac{4}{\sigma}\leq \dfrac{X -11}{\sigma} \leq\dfrac{4}{\sigma} $$
$$-\dfrac{4}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{4}{\sigma} $$
Comme $\dfrac{X -11}{\sigma}$ approche la loi normale centrée réduite $Z$, on a $p\left(7\leq X\leq 15\right )\approx p\left ( -\dfrac{ 4}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{ 4}{\sigma}\right )$
Or $p\left ( -\dfrac{ 4}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{ 4}{\sigma}\right )=2\Pi\left( \dfrac{ 4}{\sigma} \right )-1 $
comme $t =\dfrac{4}{\sigma}\approx 1,24$
$$p\left(7\leq X\leq 15\right )\approx 2\Pi\left( 1,24 \right )-1 \approx 2\times 0,982-1$$
$p\left(7\leq X\leq 15\right )\approx 0,784$.


Remarque : on peut bien sûr faire le calcul avec une calculatrice


2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 


Enfin le calcul direct à la calculatrice !


 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$



 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

 

1. 
   
   $binomFR\text{é}p(220,0.05,15)-binomFR\text{é}p(220,0.05,6)\approx 0.839$
   Ceci calcule la probabilité $P(X\leq 15)-P(X\leq 6)=P(7\leq X \leq 15)$ dans le cas où $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(220,0.05)$
   Ceci retourne 0,839.
   On peut remarquer le manque de qualité de l'approximation !
   On peut améliorer cette approximation en prenant en compte la correction de continuité ...
   Cette notion est hors programme mais il s'agit ici de prendre conscience du problème.
   A cet effet on remplace le calcul de $p(X=x)$ par $p\left (x-\frac{1}{2}\leq X\leq x+\frac{1}{2}\right )$
   Par exemple $p(X=8)$ par $p\left (7,5\leq X\leq 8,5\right )$
   Ici $p(7\leq X\leq 15)$ peut être remplacé par $p\left (6,5\leq X\leq 15,5\right )$ $$p\left (-\dfrac{4,5}{\sigma}\leq Z \leq\dfrac{4,5}{\sigma} \right )=2\Pi\left( \dfrac{ 4,5}{\sigma} \right )-1 $$ On obtient alors 0,836 à la calculatrice !

Annexe Exercice 1