Baccalauréat S Polynésie 9 septembre 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.

1. Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$.
Les diviseurs positifs de $6$, sont $1,2,3$ et $6$. Ainsi $S(6) = 12$.
Les diviseurs positifs de $7$ sont $1$ et $7$. Ainsi $S(7)=8$.
$\quad$
2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$.
   Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $2$, $1$ et $n$ sont des diviseurs positifs de $n$ distincts.
   Ainsi $S(n) \ge 1+n$.
   $\quad$
   
   2. Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ?
   Pour que $S(n)=1+n$ il faut que $n$ ne soit divisible exactement par $2$ nombres : $1$ et lui-même. C’est donc un nombre premier.
   $\quad$
3. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$.
   Si $n=p\times q$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, alors les seuls diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $p$, $q$ et $pq$.
   Par conséquent $S(n)=1+p+q+pq = (1+p)(1+q)$.
   $\quad$
   
   2. On considère la proposition suivante : « Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ ». Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
   Prenons $n=4$ et $m=2$.
   Les diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $2$ et $4$. Ainsi $S(4)=7$.
   Puisque $2$ est premier, $S(2) = 3$
   Les diviseurs positifs de $8$ sont $1$, $2$, $4$ et $8$. Ainsi $S(8) = 15$.
   Par conséquent $S(8) \neq S(4) \times S(2)$.
   La proposition faite est donc fausse.
   $\quad$
4. On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
   1. Quels sont les diviseurs de $n$ ?
   $n=p^k$ ou $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
   Les diviseurs de $n$ sont donc les $p^i$ pour $i\in \left\{0;1;\ldots;k\right\}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$.
   Ainsi $S(n) = \displaystyle \sum_{i=0}^k p^i= 1+p+p^2+\ldots +p^k = \dfrac{1-p^{k+1}}{1-p}$.
   $\quad$
5. On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts.
   1. Soit $m$ un entier naturel. Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$.
   $n=p^{13}\times q^7$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts.
   Soit $m$ un diviseur de $n$.
   Supposons que $m$ soit divisible par un nombre premier $d$ différent de $p$ et $q$.
   Puisque $d$ divise $m$, il divise également $n$.
   Cela signifie donc que $m$ divise soit $p$ soit $q$. Ce qui est impossible.
   Donc $m$ s’écrit sous la forme $p^s\times q^t$ où $s$ et $t$ sont des entiers naturels.
   $s \le 13$ car $p^{14}$ ne divise pas $n$. De même $t \le 7$ car $q^8$ ne divise pas $n$.
   Par conséquent, il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
   $\quad$
   Réciproquement supposons qu’il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
   Alors $n=p^{13}\times q^7 = p^s\times p^{13-s}\times q^t\times q^{7-t} = m \times p^{13-s}\times q^{7-t}$.
   $m$ divise bien $n$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$.
   On a donc :
   $$\begin{align*} S(n) &= \displaystyle \sum_{s=0}^{13} \sum_{t=0}^{7} p^s\times q^t \\\\
   &= \sum_{s=0}^{13} p^s\times\sum_{t=0}^{7} q^t \\\\
   &= \sum_{s=0}^{13} p^s\times\dfrac{1-q^8}{1-q} \\\\
   &= \left(\sum_{s=0}^{13} p^s\right) \times\dfrac{1-q^8}{1-q}\\\\
   &= \dfrac{1-p^{14}}{1-p} \times \dfrac{1-q^8}{1-q}
   \end{align*}$$